Nguồn website giaibai5s.com
- KIẾN THỨC CƠ BẢN 1. Định nghĩa a) Dãy số
Mỗi hàm số u xác định trên tập các số nguyên dương N* được gọi là một dãy số vô hạn (gọi tắt là dãy sổ), kí hiệu:
u:N* → R
n Hu(n) Người ta thường viết dãy số dưới dạng khai triển:
U, U2, U3,…, Un….,
Trong đó u, =u(n) hoặc viết tắt là (un), và gọi u là số hạng đầu, u, là số hạng thứ n và là số hạng tổng quát của dãy số.
- b) Dãy số hữu hạn
Mỗi hàm số u xác định trên tập M ={1, 2, 3,…, m} với mẹ N được gọi là một dãy số hữu hạn.
Dạng khai triển của nó là u, u, u,…, un, trong đó u, là số hạng đầu, | um là số hạng cuối.
- Cách cho một dãy số – Dãy số cho bằng công thức của số hạng tổng quát. Khi đó u = f (n), trong đó f là một hàm xác định trên N*.. – Dãy số cho bằng phương pháp mô tả.
Dãy số được cho bằng phương pháp mô tả, trong đó chỉ ra cách viết các số hạng liên tiếp của dãy.
– Dãy số cho bằng phương pháp truy hồi.
+ Cho số hạng đầu (hay vài số hạng đầu). | + Cho hệ thức truy hồi, tức là hệ thức biểu thị số hạng thứ n qua số hạng (hay vài số hạng) đứng trước nó.
- Dãy số tăng, dãy số giảm và dãy số bị chặn a) Dãy số tăng, dãy số giảm Định nghĩa: Dãy số (un) được gọi là dãy số tăng nếu ta có un+1> un với mọi ne N”. Dãy số (un) được gọi là dãy số giảm nếu ta có un+1 < un với mọi ng N”. b) Dãy số bị chặn Dãy số (un) được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại một số M sao cho:
. U, SM, Vne N* Dãy số (un) được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại một số m sao cho:
u, 2 m, Vne N* | Dãy số (un) được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, tức là tồn tại các số m, M sao cho:
msu, SM, Vne N* Khảo sát tính đơn điệu của dãy số: Xét hiệu H = un+1 – un . Nếu H > 0, Vn 6 N* thì dãy số tăng. Nếu H < 0, Vne No thì dãy số giảm. .
- HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP (SGK) Bài 1 (Trang 92, SGK)
- b) u, =
7
iu, 9
– ; 17′
us =
?
- a) u = 1; us = u, hiu hiu b) u, ziu, au, L, -,01u, =2, u = 3:0,-():..-(3):”-( 2) = fain,, mom, hains – Part
.
A
Bài 2 (Trang 92, SGK) a) u, =-1; u, = u, +3=2; u, = u, +3=5;
un = uz +3=8; u, = 04 +3=11. b) Với n = 1 ta có: u =3.1–4=-1 (đúng với bài ra)
Giả sử hệ thức đúng với n=k21, tức là u = 3k -4. Ta cần chứng minh hệ thức cũng đúng với n=k+1. .
| Thật vậy, với n=k+1 ta có u =3(k+1)-4. Hệ thức đúng với . n=k+1.
Vậy hệ thức đúng với mọi nc N. | Bài 3 (Trang 92, SGK) a) u= 3; uz = V1 +32 = V10; u; = V1 +10 = V11;
us=v1+11 = V12; ug = V1+12 = V13. b) Ta có: u1 = 3 = 9 = 1 +8
U2 = V10 = V2+8 . Uz = V11 = 13+8
14 = V12 = 14+8 Từ trên ta dự đoán u =(n+8 với nc N (b). Ta chứng minh (b) bằng phương pháp quy nạp. Với n=1=u, = (1+8=3 = (b) đúng. Giả sử đẳng thức (b) đúng với n=k21, nghĩa là: u, = 4k+8
ex!
Ta phải chứng minh đẳng thức (b) đúng với n = k + 1 tức là:
Ux+1 = V(k+1)+8 Thật vậy, từ công thức dãy số, ta có:
u = 1+u = 1+(k+8] = V(k+1) +8 Như vậy, công thức (b) đúng với n = k + 1 Vậy, hệ thức (b) đúng với mọi ne No. Bài 4 (Trang 92, SGK)
- a) Ta xét: u, 41-un =
.,
–
–
–
–
n+1
I
n
+1
n
.
><0 với mọi ne N.Vậy, dãy số n
n+1
n+1
n
Mà ‘ <> nên u.. -u, =
n+1 đã cho là dãy số giảm.
n+1-1 n-1 b) Ta xét: u,.-u, =
n+1+1 n+1
no+n – n”- n+2
n n +2
n–1 n+1
1+1
n+
An
n+1
(n+1)(n+2) Vậy u >u, với mọi ne N. Dãy số trên là dãy số tăng. c) unti-u, = (-1)”+’ (2n+i +1) – (-1)”(2″ +1)
(-1)** [2″+1 +2″ +2]
Vậy u – -u, >0 nếu n lẻ, u -u, <0 nếu n chẵn. Vậy, dãy đã cho không tăng và không giảm. ,
- d) Tương tự như câu (b) ta có:
** 2(n+1)+1, 2n+hatan 23650+7)
Un+1-4, 5(n+1)+2′ 5n+ 2 (5n+2)(5n
11+1
n
+
Vậy u. <u, với mọi nc N Dãy số trên là dãy số giảm. Bài 5 (Trang 92, SGK)
- a) Dãy số trên bị chặn dưới vì un = 2n – 1 2 1 với mọi nc N* và không bị chặn trên vì nếu tồn tại một số M > 0, M = R tồn tại n = N sao cho
2 – 1 Men Mở úc là luôn tồn tại n, Mỹ | 1 đê
M+1
– tức là luôn tồn tại nh|
+11.
2n? – 1 > M
-G+1 để
V
2
2n; -12 M.
- b) Ta thấy u, >0 với mọi nẼ N” và n(n + 2) > 3, vậy ta có:
n(n+2) 3
Vr
Vậy, dãy số bị chặn vì: 0< <, với mọi ne N”. c) Vì này nên ta có 2n -1>0, suy ra –>0
Mặt khác, ta có: n > 1 nên n” > 1, suy ra 2no > 2 hay 2n – 1 2 13 Un = 302-731
Vậy 0 < un < 1, (Vne No) tức là dãy số un bị chặn.. . d) Ta có: sin n+cos n = 2 sin n+1), (in). Do vậy: . -V2 <sin n + cosn </2, Vn N. Mặt khác dấu = không xảy ra khi Vne N*.
. Vậy – 5 < sin n + cos n</5, Vne N”. Tức là dãy số u, bị chặn.