Nguồn website giaibai5s.com

  1. KIẾN THỨC CƠ BẢN

Chứng minh một mệnh đề P(n) là đúng với mọi nỂ N”, ta thường dùng phương pháp quy nạp toán học, được tiến hành theo hai bước sau:

Bước 1: Kiểm tra rằng mệnh đề đúng với n = 1.

Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên bất kì n = k > 1 (gọi là giả thiết quy nạp), chứng minh rằng nó cũng đúng với n = k + 1.

Vậy, theo nguyên lí quy nạp toán học, ta kết luận mệnh đề P(n) là đúng với mọi n + N * Chú ý:

Nếu phải chứng minh mệnh đề là đúng với mọi số tự nhiên nỒp (p là một số tự nhiên) thì:

– Ở bước 1: Ta phải kiểm tra mệnh đề đúng với n = p.

– Ở bước 2: Ta giả thiết mệnh đề đúng với số tự nhiên bất kì n = k >p và phải chứng minh rằng nó cũng đúng với n = k + 1.

2

  1. HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP (SGK) Bài 1 (Trang 82, SGK) a) 2+5+8+ … + 3n – 1 = n(3n+1) Với n = 1 ta có, vế trái chỉ có một số hạng bằng 2 vế phải bằng:

1(3.1+1) _4_o

2 Vậy hệ thức (a) đúng với n = 1. Đặt vế trái bằng Sa. Giả sử đẳng thức (a) đúng với n =k2 1, nghĩa là:

k(3k +1) S = 2+5+8+ … + 3k-1=

=2

– 2

2

Ta phải chứng minh rằng (a) cũng đúng với n = k + 1, tức là:

.44713

Sin = S, +3k +2=

++3k +2=

2

Sx+= 2+5+8+ … +(3K-1)+[3(k+1)-1)=* Thật vậy, từ giả thuyết quy nạp, ta có:

3k? + 6k+k+4 *2= 2 _ 3(k’ +2k+1)+k+1_3(k+1) +k+1_(k+1)[3(k+1) +1]

2 (điều phải chứng minh) Vậy hệ thức (a) đúng với mọi n = N”. n1,11 12″-1 b) ..

2″ Với n = 1 hệ thức (b) đúng. Đặt vế trái bằng Sa. Giả sử đẳng thức đúng với n = k 1, nghĩa là: S-11111t1_2″-1. Ta phải chứng minh rằng (b) cũng đúng với n = k + 1, tức là:

2k+1 -1

+…+

—of 2

– 4

+-

8

– 2″

– .

2

4

8

Sx+1 = 2 pkt

V

.

.

Thật vậy, từ giả thiết quy nạp, ta có:

1 2 -1 1 2k+T – 2+1 Sk+u =Sx + 7k+1=-26 + 2k+ = 2k+1 (điều phải chứng minh) Vậy hệ thức (b) đúng với mọi n + N.

i

2+1

*

c)] +2+3+ +

+ n2 = n(n+1)(2n+1)

Với n = 1 ta có, vế trái chỉ có một số hạng bằng 1, vế phải bằng n(n+1)(2n+1)_1(1+1)(2+1) _ 6-1 6

6 . 6 . . .. . Vậy hệ thức (c) đúng với n = 1. Đặt vế trái bằng Sa. Giả sử đẳng thức đúng với n = k > 1, nghĩa là:

.

IV

Su = 1° +2° +32 + … +k? = KCH S-121021.22 11,2_k(k+1)(2k +1) Ta phải chứng minh rằng (c) cũng đúng với n = k + 1, tức là:

(k+1)(k+2)[2(k+1)+1]

Thật vậy, từ giả thiết quy nạp ta có: Ski=Sx +(x + 1)2 = k(k+1)(2k +1) +(k+1)? 0., k(2k +1)+6(k+1) w j 2k+k+66 +6

k+1

k(2k +1)+6(KT! =(k+1). –

6

6

.

*

(k+1)(2k (k+2)+3(k+2)]_(k+1)(k+ 2)[2(k+1)+1]

6 …

6 (điều phải chứng minh) Vậy hệ thức (c) đúng với mọi ne N. Bài 2 (Trang 82, SGK) a) n + 3no +5n chia hết cho 3 Đặt A, #no +3n +5n Với n = 1 ta có 1 +3.1+5.1=9. Vậy A =9:3 Giả sử với n=k2lta có: A = k +3k? +5k :3 Ta phải chứng minh rằng A :3 Thật vậy, ta có: Ag+ = (k+1)^ + 3(k+1) +5(k + 1)

= k·+3k+ 3k +1+3K2+66 +3+5k+5

=k? + 3k? +5k + 3k? +9k +9 Hay Akti = Ak +3(k’ +3k +3) Theo giả thiết quy nạp thì Ak: 3, mặt khác 3(k + 2x + 3): 3 Vậy An : 3 với mọi nc N”. b) 4″ +15n_1chia hết cho 9 Đặt A = 4″ +15n – 1 Với n = 1 ta có: 4′ +15.1-1=18. Vậy A =18:9.

k+1

Giả sử với n = k > 1 ta có: A = 4k +15k-1:9 Ta phải chứng minh rằng: Ag+ : 9 Thật vậy, ta có: Ak= 4*+/+15(k+1) – 1 = 4*.4+15(k+1) – 1 = 4(4″ +15k -1) – 45k +18

4A, -9(5k – 2) Theo giả thiết quy nạp thì A: 9 nên 4SK :9, mặt khác 905k -2):9 Vậy An : 9 với mọi ne No. c) n + 11n chia hết cho 6 Đặt A = n^ +11n Với n = 1 ta có: +11.1=12. Vậy A =12:6 Giả sử với n=k21 ta có: A =(k+1 3k): 6 Ta phải chứng minh rằng: AH :6 do đó Ak:6 Thật vậy, ta có: Akti = (k+1) +11(k+1) = k·+382 +3k +1+11k+11.

= (k’+11k)+3(k? +k+4)

= A +3(k+k+4) Theo giá thiết quy nạp thì A, 16, mặt khác ko + k + 4 là số chẵn nên 3(k+k+4):6 do đó AKAI 6

Vậy A, 16 với mọi n No. Bài 3 (Trang 82, SGK) a) 3″ > 3n+1 Với n=2 ta có: 3? >3.2+1. Bất đẳng thức đúng với n=2. Giả sử bất đẳng thức đúng với n=k22, tức là 3* >3k +1. Ta phải chứng minh rằng: 3** >3(k+1)+1. Thật vậy, ta có: nhân cả hai vế với 3 3k.3> 3(3k +1)

35.3 >9k+3 3k+! > 3k +4+6k-1 158

Vì 6k-1>0 luôn đúng với k22 vậy: 3k+ >3k +4 hay 3k+ >3(k+1)+1. (điều phải chứng minh)

Vậy bất đẳng thức đúng với n=k+1 với mọi số tự nhiên n>2. b) 2n+! > 2n +3 Với n = 2 ta có: 2 > 2.2+3. Bất đẳng thức đúng với n=2. Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k 22, tức là 2k” > 2k +3 (*) Ta phải chứng minh rằng: 2k+>2(k+)+3 = 2k+2 > 2k + 5 Nhân hai vế của bất đẳng thức (*) với 2, ta được: 2k+2,> 4k + 6 + 2k+2 > 2k + 5 + 2k +1 Vì 2k + 1 > 0 nên 2kt?> 2k + 5. Vậy 2+ > 2n + 3 với mọi số tự nhiên n> 2. . Bài 4 (Trang 83, SGK)

1 1 3 –

+

1.2 2.3 3.4 4 b) Từ câu a), ta dự đoán S =” (b), với mọi n cN”

n+1 Ta chứng minh bằng quy nạp.

S

=

11 – =1.2 2

t

+

1.2 23

Với n=1, vế trái là S =

1 vế phải bằng

2:

+1 (b) đúng. Giả sử đẳng thức (b) đúng với n = k = 1, nghĩa là:

1 = *

t-

2.3

t… to

k.(k+1)

t…t

Sin=-

1.2

to-

2.3

1.2

(k+1) . . Ta phải chứng minh rằng đẳng thức (b) đúng với n = k + 1, tức là:

k+1

(k+1).(k+2) k + 2 Thật vậy, từ giả thiết quy nạp, ta có:

S.-S. +- 1_ akt_ I k (k+2)+1

Ox+l5** (k+1).(k+2) k+1.” (k+1).(k+2) (k+1).(k+2) .. (k+1)2__k+1

* (điều phải chứng minh) (k+1).(k+2) k+2″ Vậy hệ thức (b) đúng với mọi n cN. Ta chứng minh khẳng định đúng với mọi n EN’, n > 4.

AL

Bài 5 (Trang 83, SGK)

Với n = 4, ta có tứ giác. Thay n = 4 vào công thức, ta có số đường chéo của tứ giác là: n(n-3) 4(4-3) ..

2 – 2 Tứ giác có hai đường chéo nên công thức là đúng với n = 4.

Giả sử đa giác lồi k cạnh (k > 4) có số đường chéo là k(*-*)

2 :

– Ax+1 R – Xét đa giác lồi k + 1 cạnh,

| Ta phải chứng minh công thức đúng với k + 1, tức là đa giác lồi k + 1 cạnh có số đường chéo là: (k+1)[(k+1) – 3]

: : Ak 2

Akl

Nối A và Ak, ta được đa giác k cạnh A, A… AK có 1- 2 đường

  1. chéo, nối Ak+1 với các định A2, A3,…, Ak-1, ta được thêm k – 2 đường chéo, mặt khác A, Ak cũng là một đường chéo. . Như vậy, số đường chéo của đa giác k + 1 cạnh là:

k(k-3) 1_211_k2-k-2 _ (k+1)[(k+1) -37 2

2 Vậy, công thức trên cũng đúng với đa giác k + 1 cạnh. Do đó, bài toán đã được chứng minh.

kik-3) k-2+1=

Chương III. Dãy số – cấp số cộng và cấp số nhân-Bài 1. Phương pháp quy nạp toán học
Đánh giá bài viết