1. Định nghĩa

Giả sử A là biến cố liên quan đến một phép thử chỉ có một số hữu hạn kết quả đồng khả năng xuất hiện. Ta gọi tỉ số CA2 là xác suất của biến cố

n(12) A, kí hiệu là P(A).

.

.

.

.

P(A) = n(A)

.

.

.

.

P

A

)

n(12) Chú ý 1: n(A) là số phần tử của A hay cũng là số các kết quả thuận lợi cho biến cố A, còn n(C2) là số các kết quả có thể xảy ra của phép thử.

Chú ý 2: Để vận dụng được định nghĩa cổ điển của xác suất, phải có hai điều kiện: – Số các kết quả có thể có của phép thử là hữu hạn. – Các kết quả có thể có của phép thử là đồng khả năng.. 2. Tính chất của xác suất Định lí: a) P(Ø) = 0, P(12) = 1. b) 0 = P(A)< 1, với mọi biến cố A. c) Nếu A và B xung khắc, thì P(AU B) = P(A) + P(B) Hệ qua: Với mọi biến cố A, ta có: P(A) = 1-P(A).

3. Các biến cố độc lập, công thức nhân xác suất

Hai biến cố là độc lập với nhau khi và chỉ khi việc xảy ra hay không xảy | ra của biến cố này không làm ảnh hưởng đến xác suất xảy ra của biến cố kia.

| A và B là hai biến cố độc lập khi và chỉ khi: P(ACB) = P(A).P(B).

1. HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP (SGK) Bài 1 (Trang 74, SGK). a) Không gian mẫu là: :

={(i, j)|15i, j56}. b) A: “Tổng số chấm xuất hiện trong hai lần gieo không bé hơn 10”.

Vậy: A ={(4,6),(6, 4),(5,5),(5,6),(0,5), (6, 6)} | B: “Mặt 5 chấm xuất hiện ít nhất một lần”.

Vậy: B={(1,5),(2,5),(3,5),(4,5),(5,5),(6,5),(5,1),(5, 2),(5, 3),(5,4), (5, 6)}. c) Số phần tử của không gian mẫu là n(2)=36.

P(R)- n(B)_11 *n(92) 366

n(12) 36 Bài 2 (Trang 74, SGK) a) Ta có không gian mẫu: 2={(1, 2, 3),(2, 3, 4),(1, 2, 4), (1, 3, 4)} Số phần tử của không gian mẫu là n(2) = C = 4. b) A: “Tổng các số trên ba tấm bìa bằng 8”.

Vậy A = {(1, 3, 4)}, n(A) = 1, | B: “Các số trên ba tấm bìa là ba số tự nhiên liên tiếp”.

Vậy B ={(1, 2, 3), (2, 3, 4)}, n(B) = 2.

6

1

P(A)= n(A)

1. c) P(A) = n(A) – 1

P(B) = n(B)_2_1

n(12) 4.2

\ n(92) 4 Bài 3 (Trang 74, SGK) | Lấy ngẫu nhiên hai chiếc giày từ bốn đôi giày cỡ khác nhau. Mỗi lần chọn hai chiếc giày là một tổ hợp chập 2 của 8 chiếc giày. Vậy số phần tử của không gian mẫu là:

 

n(n)= c = 2 = 28

b

Gọi A là biến cố: “Chọn được hai chiếc giày tạo thành một đôi”. Vậy n(A)=4. Suy ra: P(A) = n(A) – 4_1

^? n(12) 287 Bài 4 (Trang 74, SGK)

Ta có không gian mẫu là: 2={1, 2, 3, 4, 5, 6}. Vậy số phần tử của không gian mẫu n(2)=6.

1. a) Phương trình có nghiệm.

Phương trình x+bx+2=0 có nghiệm khi và chỉ khi A=b^-820e ibl = 212

| Gọi A là biến cố: “Phương trình x + bx+2=0 có nghiệm” thì A={3, 4, 5, 6} và n(A)=4. Vậy P(A)=13

1. b) Phương trình vô nghiệm. | Phương trình x° +bx+2=0 vô nghiệm khi và chỉ khi a=b^-8<0. – Gọi B là biến cố: “Phương trình x+bx+2=0 vô nghiệm” thì B=A{1, 2} và n(B)=2.

Vậy P(B)== c) Phương trình có nghiệm nguyên.

Theo câu (a) ta có: Phương trình x +bx+2=0 có nghiệm thì A={3, 4, 5, 6}, vậy ta thay lần lượt giá trị của b vào phương trình thì được bảng sau: b3 4 I

61 A = 6-8 1 8

17 …28 Theo bảng trên, ta có với b = 4, b = 5, b = 6 thì A không phải là số chính phương nên phương trình không có nghiệm nguyên. Tại b = 3 thì phương trình x+ bx + 2 = 0 có nghiệm nguyên. . – Gọi C là biến cố: “Phương trình x +bx+2=0 có nghiệm nguyên” thì C={3} và n(C) =1. Vậy, P(C)=..

Bài 5 (Trang 74, SGK) Số phần tử của không gian mẫu. n(2)=C, =270725. a) Cả bốn con đều là át. Gọi A là biến cố: “Rút ra được cả bốn con đều là át”, vậy n(A)=C =1.

Vậy P(A)=270725

-0,0000037.

?

2

4

.

4

1. b) Được ít nhất một con át.

Gọi B là biến cố: “Rút ra được ít nhất một con át”, thì B là biến cố “Trong bốn con bài rút ra không có con át nào”.

Ta có n(B)= =194580 Vậy P(B)=194580 =0,7187 Mà ta có P(B)=1−P(B) P(B)=1–0,7187 -0,2813 c) Được hai con át và hai con K. Gọi C là biến cố: “Rút ra được hai con át và hai con K”, Số cách để rút được hai con át và hai con K là: CC = 36.

36 Vậy P(C)= -3 = 0, 000133. Bài 6 (Trang 74, SGK) a) Nam, nữ ngồi đối diện nhau.

Hai bạn nam và hai bạn nữ được xếp ngồi ngẫu nhiên vào bốn ghế xếp thành hai dãy đối diện nhau. Mỗi cách xếp là một hoán vị của 4 phần tử. Vậy số phần tử của không gian mẫu là n(2)=4!= 24. Ta đánh số thứ tự cho bốn ghế như hình vẽ bên.

. Trước hết ta xếp nữ ngồi vào ghế 1 và ghế 2, thì có 2 cách. Sau đó ta xếp tiếp 2 nam vào ghế 3 và ghế 4, thì có 2 cách.

3 Hoán vị chỗ ngồi của hai bạn đối diện cho nhau, thì có 2.2 cách. Theo quy tắc nhân ta có:

2.2.2.2 = 16 (cách). Gọi A là biến cố: “Nam, nữ ngồi đối diện nhau”.

Vâs

Vậy n(A)=16 và P(A)= | b) Nữ ngồi đối diện nhau.

Nếu xếp hai nam và hai nữ vào bốn ghế như trong hình vẽ trên thì khi nữ ngồi đối diện nhau thì nam cũng lập tức ngồi đối diện nhau. Mà ta chỉ có các cách sắp xếp là: nam, nữ ngồi đối diện nhau, nữ ngồi đối diện nhau hoặc nam đối diện nhau. Do đó, A cũng là biến cố “Nữ ngồi đối diện nhau”. Gọi B là biến cố: “Nữ ngồi đối diện nhau”.

2 1 . . Vậy P(B)=P(A)=1−P(A)=1-=.. Bài 7 (Trang 74, SGK) a) Xét xem A và B có độc lập không.

Từ mỗi hộp lấy ngẫu nhiên một quả cầu. Mỗi một kết quả có thể có của phép thử bao gồm: 1 quả cầu của hộp thứ nhất và 1 quả cầu của hộp thứ hai.

Để lấy ra 1 quả cầu từ hộp thứ nhất ta có 10 cách. Để lấy ra 1 quả cầu | từ hộp thứ hai ta có 10 cách. Vậy, theo quy tắc nhân ta có số phần tử của không gian mẫu là n(C2) = 10.10 = 100.

Ta đánh số các quả cầu trong mỗi hộp từ 1 đến 10 sao cho các quả cầu trắng trong hộp thứ nhất được đánh số từ 1 đến 6 và các quả cầu trắng trong | hộp thứ hai được đánh số từ 1 đến 4. ..

A là biến cố: “Quả cầu lấy từ hộp thứ nhất trắng”.

| Số trường hợp lấy ra 1 quả cầu ở hộp thứ nhất trắng là 6, số trường hợp | lấy ra 1 quả cầu ở hộp thứ hai là 10. Số trường hợp lấy ra 1 quả cầu trắng ở hộp thứ nhất và 1 quả cầu ở hộp thứ hai theo quy tắc nhân ta có n(A)=6.10=60.

Vậy P(A)= 60 =0, 6 | B là biến cố: “Quả cầu lấy từ hộp thứ hai trắng”. | Số trường hợp lấy ra 1 quả cầu ở hộp thứ hai trắng là 4, số trường hợp | lấy ra 1 quả cầu ở hộp thứ nhất là 10. Số trường hợp lấy ra 1 quả cầu trắng ở hộp thứ hai và 1 quả cầu ở hộp thứ nhất theo quy tắc nhân ta có:

n(A) = 4.10 = 40 : Vậy P(B)= = 0,4

Ta có AB là biến cố: “Lấy ra được 1 quả cầu trắng ở hộp thứ nhất và 1 quả cầu trắng ở hộp thứ hai”, vậy n(ACB)=6.4= 24.

g

1

40

1.4

LO

Vậy P(AB)=2 =0, 24 =P(A) P(B) Vậy A và B độc lập với nhau. b) Tính xác suất sao cho hai quả cầu lấy ra cùng màu. Gọi C là biến cố: “Lấy ra được hai quả cầu cùng màu”. Mà theo câu (a) ta có:

AB là biến cố: “Lấy ra được 1 quả cầu trắng ở hộp thứ nhất và 1 quả cầu trắng ở hộp thứ hai”. Vậy suy ra AB là biến cố: “Lấy ra được 1 quả cầu đen ở hộp thứ nhất và 1 quả cầu đen ở hộp thứ hai”. Vậy C = ABU AB.

Do biến cố A.B và AB xung khắc và A, B độc lập với nhau. Ta có: P(C)=P(A.B)+P(A. B) = 6.4 + 4.6 – 24_24 – 10

1 100 100 100 100 c) Tính xác suất sao cho hai quả cầu lấy ra khác màu.

Biến cố: “Lấy ra được hai quả cầu khác màu” là C nên xác suất cần tìm là: : P(C)=1-P(C)=1–0,48 = 0,52.

100*100=0,48