| A. KIẾN THỨC CẦN NẮM VỮNG
1. Tính diện tích hình phẳng Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = f(x) liên tục trên [a; b], trục hoành và các đường thẳng x = a, y = b là:
Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số Y1= f1(x), Y2 = f2(x) liên tục trên [a; b], trục hoành và các đường thẳng x = a, y = b là:
2. Tính thể tích của vật thể Trong hệ tọa độ vuông Oxyz, một vật thể bị cắt bởi hai mặt phẳng P và Q vuông góc với trục Ox tại x = a và x = b. Một mặt phẳng tùy ý vuông góc với Ox tại điểm x (a≤ x ≤b) cắt V theo thiết diện có diện tích S(x). Giả sử S(x) liên tục trên [a; b] thì thể tích V của vật thể giới hạn bởi P và Q là:
|
B. Giải bài tập
Nguồn website giaibai5s.com
- Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: a) y = x^; y = x + 2 b) y = In xl: y = 1 c) y =(x-6)”; y = 6x – x?
| Giải a) Giả sử đường thẳng y = x + 2 cắt parabol y = x^ tại A và B. Hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x và y = x + 2 coi như hình giới hạn bởi các đường y = x, y = x + 2, x = XA, x = Xtrong đó XA, XB là hoành độ các giao điểm A, B.
Vậy diện tích cần tính là: S = [[x-(x + 2)dx
SB
Tính XA, XB là các nghiệm của phương trình: x2 = x + 2 X-X – 2 = 0)
- X=-1; x = 2… Theo hình vẽ ta có: trên đoạn [-1;2] thì x + 2 2x^ do đó: x-(x + 2) = -x + x + 2 Vậy diện tích cần tìm là:
S = $x*-(x+2)dx = }(=+*+x+2]dx
-( ****281 dvd b) Hoành độ các giao điểm là: ty
|In xi = 1 x= x= 1 Vậy diện tích cần tìm là:
11.
OL
X=
-:x=e
.
е
х
s = ft + n]dx + fľa – In x)dx 17 . = x(-1) -x -17) – 1-2 arany
- c) Hoành độ các giao điểm của hai đồ thị là:
(x-6)* = 6x – x?
(x-6)(2x-6)= 0
x= 3 V X=6 Vậy diện tích cần tìm là:
s = fox-x}=(x-6) ]dx = $(-2x’ +18x – 36 )dx -( *+ 2×2-36x)
= – 36 + 45 = 9 (dvdt) 2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong y = x^ + 1, tiếp tuyến với đường này tại điểm M(2; 5) và trục Oy.
Giải – Phương trình tiếp tuyến với đường cong y = x^ + 1 tại điểm M(2, 5) là:
y = y'(2)(x-2)+5 y = 4x – 3 Điểm M(2; 5) thuộc đường y = x^ + 1 vì 5 = 22 + 1
| Vậy diện tích cần tìm là:
M
.
Li 2
s = [x’+1-(4x – 3)]dx -(${-2x +4x) = f (dva) 2
lo
- Parabol y =
-chia hình tròn có tâm
2
tại gốc tọa độ, bán kính 22 thành hai phần. Tìm tỉ số diện tích của chúng.
| Giải Phương trình đường tròn là: x+y=(2/2)ey=1/8 -x Phía trên trục hoành, đường tròn có phương trình: y = 8 – x Do tính đối xứng nên diện tích giới hạn bởi y = A và y = 48 -x^.
–
bằng hai lần diện tích giới hạn bởi các đường đó và trục tung.
Hoành độ giao điểm của hai đường là:
Oxt +4×2-32 = 0 6x=+2
s= 2 (v5-22 – Jdx=2vB=x*dx = 2}x=x+dt = 16 cost = ja teos321 = [8 + esim21
Đặt x = 2 (2 sinh, ta có:
2
= 21+4
Diện tích của hình giữa hai đường cong là:
S = 22 +4- $ =24+
Diện tích phần còn lại của hình tròn
S,=(2/2)*-(2x + 4) = 62
Tỉ số diện tích hai phần là:
41 47 371 +2
- Tính thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường sau quay quanh Ox:
- a) y = 1-x?;y = 0 b) y = cos x;y = 0; x = 0; x = 1
- c) y = tanx; y= 0; x = 0; y =
Giải a) Hoành độ giao điểm là: 1-x=0Bx =+1 Vậy thể tích khối tròn xoay cần tính là: .
.
Caves
V = ={=xdx=={* *** L. b) Ta có: V =jcor sex – JI + cos2x)dx
es To &: V = ajun’kok = Set Jove
= (am =) *-(-3) ***
XX
M
.
.
.
- Cho tam giác vuông OPM có cạnh OP nằm trên trục Ox.
Đặt POM = d, OM = R <a<< R >0).
Gọi V là khối tròn xoay thu được khi quay tam giác đó xung quanh trục Ox.
| a) Tính thể tích của V theo a và R. b) Tìm a sao cho thể tích của V lớn nhất.
Giải a) Ta có: OP = Rcos , PM = Rsin a Phương trình đường thẳng OM là y = xtan a Vậy hể tích khối tròn xoay là:
.
.
.
.
Rcosa
y? Rcosa
COSO
V= * \ x*tan’adx = utana v = ako sin’a.cosa = me” [cosa – cos’a] (dvd) v”(a) – taip.” [-sina + 3cos’usina]
| b) Thể tích V là một hàm số của a, với:
V'(a) = 0 6 3 cos’a-1=0
cosa
a= arccos
Bảng biến thiên củ
V
V'(a)
.+ :
–
0
V(a)
.
–
Vậy thể tích V lớn nhất khi a là góc có cos a =