A. KIẾN THỨC CẦN NẮM VỮNG

1. Định nghĩa

Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập D, khi đó: 

– Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số f(x) trên D nếu f(X) ≤ M ∀ X ∈ D và tồn tại Xo ∈ D sao cho f(x)) = M, kí hiệu

– Số N được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) trên D nếu  f(x) ≥ N ∀ X ∈ D và tồn tại Xo ∈ D sao cho f(Xo) = N, kí hiệu

2. Quy tắc tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số liên tục trên một đoạn

Ta có thể tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số liên tục trên một đoạn cực trị như sau:

1. Tìm các điểm X1, X2, X3, …, Xn trên khoảng (a; b) tại đó f’(x) = 0 hoặc f’(x) không xác định.

2. Tính f(a), f(b), f(X1), f(X2), f(X3), …, f(Xn).

3. Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất N trong các số trên. 

B. Giải bài tập 

Nguồn website giaibai5s.com

  1. Tính giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: a) y = x – 3x^ – 9x + 35 trên các đoạn [-4; 4] và [0; 5]

m

=

m

  1. b) y = x^ – 3x^ + 2 trên các đoạn [0; 3] và [2; 5]

2-X c) y == X trên các đoạn [2; 4] và [–3; -2)

1-X d) y = (5 – 4x trên đoạn [-1; 1].

Giải a) * Ta có: D = R.

y’ = 3×2 – 6x – 9 = 0 x = -1 V x = 3 . .. – Vì -1 và 3 đều thuộc đoạn [-4; 4] nên ta tính các giá trị của hàm số tại các điểm -4; 4; -1; 3

Ta có: y (-4) = -41; y(4) = 15; y(-1) = 40; y(3) = 8 . Vậy, giá trị lớn nhất của hàm số trên (-4; 4] là:

max = max{-41; 15; 40; 8} = 40 giá trị nhỏ nhất của hàm số trên (-4; 4] là:

min = min{-41; 15; 40; 8} = -41

1-4; 4) * Xét hàm số trên đoạn [0; 5] ta thấy y = 0 tại x = 3 6 [0; 5] Ta có: y(0) = 35; y(5) = 40; y(3) = 8 Vậy, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên [0; 5] là: . min y = min (35; 40; 8} = 8

giá trị lớn nhất của hàm số trên [0; 5) là: maxy = max (35; 40; 8} = 40

(0:5] b) Ta có: D = R

,

.

. y’ = 4×3 – 6x = 0) > x=0; x =

miny = min{70).30), y(?) – min{2:56: -5}

may y= max(2:56: -)=56 và tệ không thuộc đoạn 2, 5) nên ta có:

ma

ma

12:51

min y = min{y(2); y(5)} = min{6; 552) = 6 max y = max {6; 552} = 552

max y = m

(2.5)

  1. c) Ta có: D = (-1) (1; +39) 1… y’=- >0,4x +1

(1-x) Do hàm số luôn đồng biến trên mỗi khoang xác định nên:

y(x1) < y(X2) V X1, X2 6 D và X < X2 = miny = min {y(2), y(4)} = y(2) = 0

maxy= min{y(2); y(4)} = •* 1) =

* Tuins..

mi

= min{y(-3); y(-2)} = y(+3) = maxy = min{y(+3); }(-2)} = y(-2)= a) Ta có: D (

max y = m

(-2)

(- 3:-2]

  1. d) Ta có:

D = 1.

_

2

.

1-1:11

< 0 x 6 D, hàm số nghịch biến trên D Y 75-47 Ta có: với X1 < xa thì y(x1) > y(x2) V X1, X2 & D Vậy min y = min{y(-1); y(1)} =y(1)=1

(-1:1}

max y = max{y(-1); y(1)} = y(-1) = 3

  1. Trong số các hình chữ nhật cùng có chu vi 16cm, hãy tìm hình chữ … nhật có diện tích lớn nhất.

– Giải Ta có nửa chu vi hình chữ nhật là: 16 : 2 = 8cm

Nếu độ dài một cạnh hình chữ nhật là x(cm) thì cạnh kia có độ dài (8 – x)cm. Với x 6[0;8]. ..

Diện tích của hình chữ nhật là: y = S(x) = x(8 – x) = – ? + 8x. Xét hàm số trên ta có:

D = {0;8]

Dax

= ma

y’ = -2x + 8 =0 x = 4. .

max S= max{S(0), S(8),S(4)} = max {0; 16} = 16 Vậy hình có chu vi 16cm có diện tích lớn nhất là hình vuông cạnh 4cm.

. 3. Trong tất cả các hình chữ nhật cùng có diện tích 48m”, hãy xác định hình chữ nhật có chu vi nhỏ nhất.

Giải

. . | Nếu độ dài một cạnh của hình chữ nhật là x(m) thì độ dài cạnh còn lại là (m). Khi đó chu vi hình chữ nhật có diện tích 48m” là: ( 48)

96 . y = f(x) = 2 x + —|= 2x + =; xe (0; + d ) .

48

N

y = 2 – 3 = 0 6x = 4 13 (loại x = -4 43 ) Bảng biến thiên: | x | 0

4/5

too

4

too

yot – Suy ra min y = f(43) = 16/3

Vậy trong các hình chữ nhật có cùng diện tích 48m” thì hình vuông cạnh 4 /3 m là hình có chu vi nhỏ nhất. 4. Tính giá trị lớn nhất của các hàm số sau:

  1. b) y = 4×8 – 3×4

. . Giải a) Ta có: D = R và 0 < b < 4, y = 4 x = 0. Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là: max y = 4. b) Ta có: D = R

y’ = 12×2 – 12x= 12x (1 – x)

y’ = 0 x = 0; x = 1 Bảng biến thiên:

  1. a) y = 17x?

y! | +

+

0

..

0 y(l)

:

Bảng biến thiên cho thấy max y = y(1) =1. Vậy hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng 1.

  1. Tính giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau: a) y = |x|
  2. b) y=x+4(x>0)

Giäi

  1. a) Ta có: y= |x| = -x với xe(-9; 0)

1x với xe (0; +0) Trên (-2;0], hàm số nghịch biến nên min y =y(0) = 0.

Trên (0; +2) ta có y > 0 V x. Vậy hàm số đạt giá trị nhỏ nhất là: min y = 0.

(-3:0]

  1. b) Ta có: y’=13 = 0 sx = 2 (loại x = -2 vì không thuộc 0;+0) Bảng biến thiên:

2

.

.

too

too

y(2)

1

Theo bảng biến thiên thì hàm số có giá trị nhỏ nhất là min y = y(2)=4.

X>0

Chương I. Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số-Bài 3. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
Đánh giá bài viết