Nguồn website giaibai5s.com

  1. KIẾN THỨC CƠ BẢN 1. Các dạng phương trình lượng giác

– Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác là phương trình có dạng at + b = 0, trong đó a, b là các hằng số (a + 0) và t là một trong các hàm số lượng giác.

| – Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác là phương trình có dạng at + bt + c = 0, trong đó a, b là các hằng số (a + 0) và t là một trong các hàm số lượng giác.

– Phương trình bậc nhất đối với sin x và cos x: + Công thức biến đổi biểu thức a sin x + b cos x.

sin OL

Va?+ 63

a sin x+bcos x= (a +bỏ sin(x+ a); với cos a = =

Va’ +62 + Phương trình dạng a sin x + b cos x = 0 với a, b, c + R; a, b không đồng thời bằng 0 (a + b^ + 0).

Nếu a = 0, b = 0 hoặc a = 0, b = 0, phương trình có thể đưa về dạng phương trình lượng giác cơ bản.

  1. Phương pháp giải phương trình a) Bậc nhất đối với một hàm số lượng giác …

Ta cần thực hiện hai phép biến đổi tương đương: chuyển số hạng không chứa x sang vế phải và đổi dấu; chia hai vế của phương trình cho một số khác 0 là ta có thể đưa phương trình về dạng phương trình lượng giác cơ bản.

  1. b) Bậc hai đối với một hàm số lượng giác

Ta đặt hàm số lượng giác chứa ẩn làm ẩn phụ, vậy ta đưa được phương trình về dạng phương trình bậc hai. Sau đó ta giải phương trình bậc hai. Nếu phương trình bậc hai này vô nghiệm thì phương trình cần giải cũng vô nghiệm và ngược lại nếu phương trình bậc hai có nghiệm thì thay giá trị của nghiệm tìm được trở lại phép đặt ta sẽ có phương trình lượng giác cơ bản.

  1. HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP (SGK) Bài 1 (Trang 36, SGK)

sin’x-sin x=0 sin x(sin x-1)=0 €

sin x = 0 sin x=0

=017 | sin x =1 [x = ka

(ke Z).

TV x = -+k27

Bài 2 (Trang 36, SGK). a) 2cos’ x – 3 cos x + 1 = 0 . Đặt cos x =t; -1 <> 1ta có phương trình:

It=1 2t? – 3t+1=0 .1

Với t= 1 ta có: cos x = 18x= k2

Với t= ta có cosx=lexer + k2%, (ke 2)

COS Y

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là:

[x = k21

x=++k27 (ke Z)

b)2sin 2x + V2 sin 4x = 0 Áp dụng công thức nhân đôi ta có: sin 4x = 2 sin 2x cos 2x 2sin 2x + V2 sin 4x=1 42sin 2x + 22 sin 2x cos 2x = 0

[sin 2x=0

~ 2sin 2x(1+ V2 cos 2x)=0-sin 2x = 0

[2x=kit

(2x=ka I . 371 2x’=+ -+k2T

fræk

(kez)

x=+

+ km

sin

Bài 3 (Trang 37, SGK) ° a) sin? 1-2cos +2=0*(1-cos? )–200, +2=0

scos?+2cos *-3=0 Đặt cos=t; -15t<1.

[t=1

nnh: “+ 2 – 3 = 0

Ta có phương trình: “+ 2 – 3 = 081 , 1… . Với t= 1 ta có cossle=k2Tex=k4T, (ke Z) Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: x= k4T, (ke Z). b) 8cos2x+ 2sin.r-7=1 8(1-sin?x)+ 2sin x – 7=0

8sin’x-2 sin x-1=0) Đặt sin x=t; -1 <t< 1 ta có phương trình:

8t? –2-1=0

với t= ta có sin x= =

t=> ta có: sin x=-=

ke 2) -aresin(-4) + x2

Với

Với t–ta có sin x

t=-= ta có: sin x=-=

(ke Z)

x = 1- arcsin

+ k21

i nh,+ k2m

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là:

phương trình đã ch

511

x = – +k2n; x=

+k2n; x = arcsin

-+k2nt;

4

* = A-arcsin (-)+k27, (ke Z). c) 2tan” x + 3 tan x + 1 = 0 Đặt tan x =t; ta có phương trình:

(t=-1 2t2 + 3t + 1 = 0

Với t= -1, ta có: tan x=-lex= + km, (keZ) Với t=-] ta có: tan x=- x= arctan(-1)+ km, (kè7) Vậy nghiệm của phương trình đã cho là:

x=+*+kr; x = arctan ( +kt, (ke Z).

.:

2

X

=

2

)

  1. d) tan x – 2 cotx + 1 = 0. Điều kiện: sinx.cos x

0, ta có:

. tan xcot x=1

cot x =

tan x

.

Thay vào phương trình trên ta có: tan x-2 1+1=0

.

tan x

..

Đặt tan x=t; ta có phương trình:

+-2-+1=0 to +–2=07

TT

4

arc

Với t = 1, ta có: x = 1 + x=+k1, (ke Z) . Với t=-2, ta có: tan x=-2 ex= arctan(-2) + KT, (k cZ) Vậy nghiệm của phương trình đã cho là:

x=2+kr; r = arctan (-2)+ kr, (ke Z). Bài 4 (Trang 37, SGK) a) 2 sin’ x +sin xcos x – 3cos2x = 0)

Ta thấy với cos x = 0 không thoả mãn phương trình đã cho. Ta chia hai về phương trình cho cos 2x(cos2x+ 0) được: 2tan^x+tan x-3=0

Đặt tan x=t, ta có phương trình: 2ttt-3=0

X

Z)

Với t= 1 ta có tanx=lex=1 km, (ke Z) Với t – ta có tan x= –

3 x= arctan( 3 + km, (k + Z)

d

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là:

4

.

= – + kn; x = arctan kr, (k€ Z). b) 3sin’x – 4sin x cos x + 5 cos*x = 2

Ta thấy với cos x = 0 không thoả mãn phương trình đã cho. Ta chia hai về phương trình cho cos2x (cosx + 0) và thay 2 = 2(sin^x + cosx) được phương trình: 3tan’x – 4tan x + 5 = 2(tan’x + 1) tanér – 4tan x + 3 = 0 . .

t=1 . . Đặt tan x=t, ta có phương trình: – 4t+3=0 |

???t=3 Với t= 1 ta có tan x= 1 x=”+k1, (ke Z) .

. . 4. Với t = 3 ta có tan x= 3 = x = arctan3 + k, (k + Z) Vậy nghiệm của phương trình đã cho là:

11 X = **+ kn; x = arctan 3+ka, (ke Z).

.

=

3

Cod

  1. c) sin’x + sinox – 2cosx=Thay sin 2x = 2sin x

|(sinx + cos^r) vào phương trình đã cho: sin^x+ 2sinxcos x- 2cos^x = (sin^x+cosx)

COS

B

-sin’ x + 2 sin .xcos X-

cos: x=

2

1.

Ta thấy với cos x = 0, không thoả mãn phương trình đã cho. Ta chia hai | về phương trình cho cos x (cos x4 (0) được:

tan’x+2 tan.x == 0 => tan” x+4 tan x–5=0 Đặt tan x=t, ta có phương trình: 14t-5=0=1”

[1=-5 Với t= 1, ta có: tan x= 1 + x=1 km, (ke Z) Với t= – 5, ta có: tan x = -5 + x= arctan(-5) + k, (ke Z) Vậy nghiệm của phương trình đã cho là:

*=*+kt; x = arctan (+5) +kt (ke 2). d) 2 cos’ x-313 sin 2x – 4 sin?x= -4 Thay sin 2x = 2sin x cos x vào phương trình đã cho: 2 cos’ x-673 sin x cos x— 4 sin’ x=-4 ū2cos*x – 673 sin x cosx + 4 – 4sin x = 0 Ta có: sinx + cos2x = 1 + cosx = 1 – sinh thay vào phương trình 2cosx – 6/3 sin x cos x + 4 – 4sinx = 0 ta có: 2cos x – 673 sin x cos x + 4cos2x = 0 + 6cos? x — 673 sin x cos x = 0) #cos x (cos x – V3 sin x) = 0)

[cosx=0 T { cos x=0

(kez) cos x-13 sin x=0 tanx=

COS

=-

* ka

— + ka

6

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: x=

+ka, (ke Z).

Bài 5 (Trang 37, SGK) a) cos x-V3 sin x= V2 Hướng dẫn giải:

Ta biến đổi phương trình về dạng cos(a + b) = cosa cosb – sina sinh và chia cả hai vế phương trình cho Na +b^ với a = 0, b$ 0 (1) để đưa phương trình cần giải về phương trình lượng giác cơ bản.

Giải:

.

Chia hai vế phương trình cho +(-5) = 2 ta được: bicos – ein x = en cos xco sinisin x = 2 * cos( 14 ) = 2 =com

SCOS

x +

+

+k2TC

12

wa Wig

x+

=

771

+k2

+k27

x=-

.

.

.

4

12

S

. L

711

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: x=

+ k2n; x=-=

12

+k2n.

  1. b) 3sin 3x – 4cos 3x = 5 Hướng dẫn giải:

Ta biến đổi phương trình về dạng cos(a + b) = cosa cosb – sina, sinh và áp dụng công thức asin x + b cos x = a+b^ sin(x + 1) với a + 0, b + 0 để đưa phương trình cần giải về phương trình lượng giác cơ bản.

Giải: Chia cả hai vế phương trình cho 3 + (-4) =5 ta được:

=1 sin 3x cos Q – sin a cos 3x =1

x-

Trong đó: cos a=và sin a=; * sin(3x~ a) =1 4(3x~ a) = +627 x=* * + K3 (ke z)

sin (3

+k211 AX

ala

n a k21 -+-+ -,

3 3

22

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là:

1

a +-

k21

x=

+

  1. c) 2 sin x + 2 cos x — Tương tự như hướng dẫn ở câu (b) ta có:

sin x + cos que a (cose

tosin

USSY

=

+k27

COS

+

k

– – – 42

1

–+k2n

*- ***2* (KEZ)

X=- +k27 L 12 Vậy nghiệm của phương trình đã cho là:

71

.

x= 17+k2n; x = – * +k27, (ke Z)

12 .

12 d) 5cos 2x + 12sin 2x – 13 = 0 Tương tự như hướng dẫn ở câu (b) ta có:

Chia cả hai vế của phương trình cho V5 +12 = 13 ta được:

12 x + —- sin 2x-1=0

13

12 cos 2x + —sin 2x=1 13

13

13

Đặt cos a= và sin – Ta có: cos(2x-3)=le 2x-ask2m + x = + k, (ke Z)

  1. Z) ..

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là:

x=+ki, (ke Z).

. 2 Bài 6 (Trang 37, SGK) a) tan(2x + 1) tan(3x – 1) = 1 Hướng dẫn giải:

Trước hết, ta cần tìm điều kiện để phương trình trên xác định. Sau đó biến đổi về dạng cos(a + b) = cosa cosb – sina sinh. Sau khi tìm được

giá trị của x thì cần thử lại với điều kiện ở trên xem có thoả mãn điều kiện | hay không.

Giải: tan (2x+1) tan (36-1)=1* sin (2x+1) sin(3x-1)

cos (2x+1) cos(3x – 1) Điều kiện: cos(2x + 1) = 0; cos(3x – 1) = 0 Với điều kiện trên, phương trình tương đương: sin(2x + 1) sin(3x – 1) = cos(2x + 1) cos(3x – 1) #cos(2x + 1)cos(3x – 1) – sin(2x + 1)sin(3x – 1) = 0

cos[(2x+1)+(3x-1)]=0 = cos 5x=0 = 5x=+kit +x=m+k1. (ke Z). Cần chọn các k nguyên để ” + ký không thoả mãn điều kiện của

2

1

phương trình (để chúng ta loại bỏ). Thay giá trị x = ” + kỹ tìm được vào điều kiện làm cho cos(2x + 1) = 0, vậy ta có:

10.:

5

co[:(**) -1-0-2 (0+23%)+ 1 = + a. (162)

(21+ 2k +1) 25

( 21 +1 2k +112 Té Q, điều này vô lí..

1

2

5

Vậy không có giá trị k nguyên nào để x = ” + ký làm cho

10

5

cos(2x + 1) = 0. Làm tương tự như trên ta cũng không có giá trị k nguyên

nào để x= ” + kp làm cho cos(3x – 1) = 0.

10

5

. Vậy nghiệm của phương trình trên là: x= ” + ký

(VK EZ).

1

X

  1. b) tan x + tan (x+4)=1

Điều kiện cos x= 0, cos

x+-+0

tan r+1 tan xt

1- tan.

.

Đặt tan x = t, ta có phương trình:

et+1=1 (điều kiện tử 1)

1-t

t=0

-ľ + 3t = 0

(thoả mãn điều kiện)

Với t = 0 ta có tan x = 0 x= k, (k = R) Với t = 3 ta có tan x = 3 + x = arctan3 + KT, (k e Z) Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x= kg; x= arctan3 + k, (k + Z).

Chương I: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác-Bài 3.Một số phương trình lượng giác thường gặp.
Đánh giá bài viết