Nguồn website giaibai5s.com
45. Cho đường tròn tâm O, đường kính AB và điểm I nằm giữa A và O. Qua I kẻ dây cung CD rối kẻ AH, OE, BK vuông góc với CD. Đường thăng OE cắt BH ở F. Chứng minh : a) F là trung điểm của HB và CH = KD ;
b) OE = BK -AH
c) AI.IK = IH.IB.
46. Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau ở A và B (0 và 0 thuộc hai nửa mặt phẳng bờ AB). Một cát tuyển kẻ qua A cắt đường tròn (O) ở C, cắt đường tròn (O) ở D. Kẻ OM LCD và OolCD.
a) Chứng minh MN = CD ;
b) Gọi I là trung điểm của MN. Chứng minh rằng đường thẳng kẻ qua I vuông góc với DC đi qua một điểm cố định khi các tuyến CD kẻ qua A thay đổi.
c) Qua A kẻ cát tuyến song song với đường nối tâm Oo cắt đường tròn (O) ở P, cắt đường tròn (O’) ở Q. So sánh độ dài các đoạn PQ và CD.
47. Cho tam giác cân 0,0,0, có đáy 10, = 6cm, hai cạnh bên bằng 5cm. Vẽ các đường tròn tâm O, 0, có bán kính 3cm và đường tròn tâm 0 bán kính 2cm.
a) Xác định vị trí tương đối của hai đường tròn O, và 0, 0, và 0,, 0, và 0.
b) Gọi tiếp điểm của đường tròn (O) và (0,) là B, của đường tròn (0,) và (O) là C. Chứng minh BC170,0 ;
c) Tính độ dài đoạn BC.
48. Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB, hai tiếp tuyến Ax, By trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn (O). Tiếp tuyến tại điểm M của nửa đường tròn cắt Ax ở C, cắt By ở D.
a) Tam giác COD là tam giác gì ? Vì sao ?
b) Chứng minh CD= AC + BD ;
c) AM và BM cắt OC và OD theo thứ tự ở E và F. Tứ giác DEMF là hình gì ? Vì sao ?
d) Gọi I là giao điểm hai đường chéo OM và EF của tứ giác OEMF. Khi M thay đổi trên nửa đường tròn (O) thì điểm I chuyển động trên đường tròn nào ? Vì sao ?
e) Xác định vị trí của điểm M để tứ giác OEMF là hình vuông. Tính diện tích của hình vuông này, cho biết AB = 6cm.
49. Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB và một điểm I nằm giữa A và B. Gọi C là một điểm trên nửa đường tròn (O). Đường thẳng kẻ qua C vuông góc với IC cắt các tiếp tuyến của nửa đường tròn tại A và B lần lượt ở M và N.
a) Chứng minh ACAI V ACBN ;
b) So sánh hai tam giác ABC và INC;
c) Chứng minh MIN = 90°.
50. Cho tam giác MAB. Vẽ đường tròn tâm O, đường kính AB cắt MA ở C cắt MB ở D. Kẻ AP ICD, BQLCD. Gọi giao điểm của AD với BC là H. Chứng minh :
a) CP = DQ;
b) PD.DQ=PA.BQ và QCCP = PD.QD ;
c) MH I AB.
51. Cho đoạn thẳng AB. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB vẽ hai tia Ax và By song song với nhau. Một đường tròn tâm M tiếp xúc với AB C, với Ax ở D, với By ở E.
a) Trình bày cách dựng đường tròn tâm M ;
b) Chứng minh tổng AD+BE không phụ thuộc vào vị trí của Ax, By ;
c) Chứng minh ba điểm M, D, E thẳng hàng ;
d) Xác định vị trí tương đối của đường thẳng DE với đường tròn ngoại tiếp tam giác MAB.
52. Cho ba điểm J, I, J cùng nằm trên một đường thẳng theo thứ tự đó. Cho biết IJ =10cm, IJ = 4cm. Vẽ đường tròn (O) đường kính IJ và đường tròn (O) đường kính IJ”.
a) Chứng minh rằng đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài ở I;
b) Gọi A là một điểm trên đường tròn (O), tia AI cắt đường tròn (0) ở A”. Chứng minh AAIJ VAAII ;
c) Qua I kẻ một cát tuyến cắt đường tròn (O) ở B (B và A thuộc hai nửa mặt phẳng bờ IJ), cắt đường tròn (O’) ở B. Chứng minh AIAB A AIAB ;
d) Chứng minh AOAB C AOAB ;
e) Tứ giác ABAB là hình gì ? Vì sao ?
HƯỚNG DẪN GIẢI – ĐÁP SỐ
45. a) OE/7AH vì cùng vuông góc với CD nên OF // AH mà O là trung điểm của AB nên F là trung điểm của HB.
Tam giác BHK có EF/BK, lại có F là trung điểm của BH nên E là trung điểm của HK, do đó EH = EK.
Mặt khác, do OE LCD nên EC = ED. Suy ra EC – EH = ED-EK hay CH=KD.
b) Ta có : EF= BK, OF= AH. Do đó OE = EF-OF= (BK – AH). C) AAIH SABIK (g-g), ta có :
AI IH = ==, suy ra AI.IK = BI.IH. BI IK
Hình 104
2
46. a) OMI AC, ONICD nên MA =-A
Suy ra MN = MA + NA = }(AC+AD) = DC.
b) OM //ON vì cùng vuông góc với CD. Tứ giác MOON là hình thang.
Gọi giao điểm của đường thẳng kẻ qua I vuông góc với CD và CO là E thì IE song song với OM và ON, hơn nữa I là trung điểm của MN nên E là trung điểm của Oo, do đó điểm E cố định.
c) Trong hình thang vuông MNO0, ta có :
1
Hình 105
MN <00 mà MN = CD, suy ra CD<20ơ v ra (1) Kě OH IPQ, OK I CD. Chứng minh tương tự câu a) ta cũng có HK = PQ, nhưng HK =0o, vì thế PQ= 200 Từ (1) và (2), ta có PQ> CD. 47. a) Gọi giao điểm của đường tròn
(O) với 00, là B thế thì 0B = 3cm suy ra 0,B=2cm, nên B thuộc đường tròn (O). Ba điểm O, B, C, thẳng hàng và 0,04 =0,B+BO, , do đó đường tròn (0) và (0,) tiếp xúc ngoài ở A.
Hình 106 Tương tự đường tròn (O) và đường tròn (0,) tiếp xúc ngoài ở C. b) Ta có OB = OC (cùng bằng 2). Vậy BC (0,0,.
0,0, 0202″ c) AO,BC AO,0,0,, nên
BC_02C BC_2 0,02 0,0, hay 7 5 suy ra BC = 3 = 2,4 (cm).
48. a) Hai tiếp tuyến AC và MC của x nửa đường tròn (O) cắt nhau tại C . nên OC là tia phân giác của góc ck AOM.
Tương tự OD là tia phân giác của góc MOB. Suy ra OC LOD. Vậy ACOD vuông ở 0.
b) Theo tính chất tiếp tuyến, ta có: A H 0 K B MC =CA, DM = DB
Vậy CD = CM +MD=CA + BD. c) OE là tia phân giác của góc AOM trong tam giác cân AOM nên OE I AM do đó E =90°.
Tương tự F= 90°. MO là đường trung tuyến thuộc cạnh AB và MO bằng AB nên AMB= 90°. Tứ giác OEMF là hình chữ nhật, vì có ba góc vuông.
d) OI = OM không đổi nên I thuộc đường tròn tâm O, bán kính bằng KOM
Vì điểm M chuyển động trên nửa đường tròn tâm O đường kính AB nên điểm I chuyển động trên nửa đường tròn tâm O đường kính HK.
e) Hình chữ nhật OEMF là hình vuông khi và chỉ khi MO là tia phân giác của góc EMF = AAMB là tam giác cân (vì có MO vừa là đường trung tuyến vừa là đường phân giác)
+ MOLAB tại O. Vậy M là giao điểm của nửa đường tròn (O) với đường trung trực của AB. OEMF là hình vuông, ta có OM = EF và OM EF.
SOME = OM.EF = 1.32 = 4,5 (cm2). 49. a) Dễ dàng chứng minh được ACB=90°.
ACI = BCN (cùng phụ với góc ICB), CAI-CBN (cùng phụ với góc ABC ). ACAI V ACBN (theo câu a)
POMEF
nên CA _ CI
– = –
-, Suy ra —–
–
—
–
MR
>
N
СА СВ CBCN’Y CICN c) AACB AICN (theo câu b), ta có CNI = CBI
(1) Chứng minh tương tự câu a), ta có: ACBỊ VACAM và tương tự câu b ta có ABCA VAICM , suy ra CMI =CAI (2) Từ (1) và (2), ta có: CNI +CMI = CBI+CAI = 180o – ACB = 90°. Vậy MIN=180° -(CNI +CMI)=180° – 90° = 90°.
I
0
Ilinh 108
>
—-
50. a) Kẻ OILCD, ta có IC = ID.
OI là đường trung bình của hình thang ABQP, ta có IP = IQ. Vậy IP – IC = IQ– ID, suy ra CP = DQ. b) Dễ dàng chứng minh được ACB = ADB = 90°. Ta có ADP =DBQ vì cùng phụ với hai góc P 2 MDP = BDQ. APAD
PD PA AQDB (g-g) nên = =
Hình 109 suy ra PD.DQ= AP.BQ (1) Chứng minh tương tự AQCB APAC (g-g) nên <=>
PA PC suy ra PCQC=PA.BQ (2) Từ (1) và (2) ta có PC.QC = PDQD. c) H là trực tâm của tam giác MAB, do đó MHL AB.
1. a)-Dựng tia phân giác của góc BAx.
– Dựng tia phân giác của góc ABy, chúng cắt nhau ở M.. – Dung MC I AB.MD | Ax. MEI By rồi dựng đường tròn tâm M bán kính MC. b) Ta có : AD = AC, BC =BE Suy ra AD+BE = AC+CB= AB A không đổi.
0 CB Hình 110
c) MD I Ax mà Ax // By suy ra MD I By. Mặt khác ME I By nên MD trùng với ME, suy ra ba điểm D, M, E thẳng hàng.
d) MÁ và MB là tia phân giác của hai góc kề bù CMD và CME nên MAI MB tại M, do đó AAMB vuông ở M. Gọi O là trung điểm của AB thì OM là đường trung bình của hình thang ABED nên OM // AD, do đó OM LED ở M. Vậy đường thẳng DE
tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp AAMB ở M. 52. a) 00′ = OI+IO’.
Đường tròn (O) và đường tròn (O) tiếp xúc ngoài với nhau tại I. b) Dễ dàng chứng minh được IAJ = IA’I’ =90° Hai tam giác vuông IAJ và IAJ có:
AIJ = A’IJ’ = 90°
(hai góc đối đỉnh) Do đó AAIJ – NAIJ (g-g). c) SAIJ AA1 nên:
A. IA_D_10_5
Hoa 5. Hai tam giác cân OIB và O’IB có góc OIB=0IB (hai góc đối đỉnh) nên OBI=0B1 suy ra OB// O’B’, do đó 8 08
Hình 111
ID
IA
IB
IA
B
A’B’
IA
2
O’A’
O’B’
2
Suy ra A – B = , lại có AB = AIB (hai góc đối định) Do đó AIAB A AIAB (c-g-c) d) Do AIAB TO AIA’B’ nên AB A , mà 9A 9B –
y ra OA = OB = AB. Vậy AAOB AAOB (c.c.c). suyla OʻA’ OʻBABY e) Vì AAOB A AAOB nên OBA =0BA” mà OBI=0B1, do đó ABI = ABI, suy ra AB/AB. Tứ giác ABAB có hai cạnh đối song song nến là hình thang.
b) OE = BK -AH
c) AI.IK = IH.IB.
46. Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau ở A và B (0 và 0 thuộc hai nửa mặt phẳng bờ AB). Một cát tuyển kẻ qua A cắt đường tròn (O) ở C, cắt đường tròn (O) ở D. Kẻ OM LCD và OolCD.
a) Chứng minh MN = CD ;
b) Gọi I là trung điểm của MN. Chứng minh rằng đường thẳng kẻ qua I vuông góc với DC đi qua một điểm cố định khi các tuyến CD kẻ qua A thay đổi.
c) Qua A kẻ cát tuyến song song với đường nối tâm Oo cắt đường tròn (O) ở P, cắt đường tròn (O’) ở Q. So sánh độ dài các đoạn PQ và CD.
47. Cho tam giác cân 0,0,0, có đáy 10, = 6cm, hai cạnh bên bằng 5cm. Vẽ các đường tròn tâm O, 0, có bán kính 3cm và đường tròn tâm 0 bán kính 2cm.
a) Xác định vị trí tương đối của hai đường tròn O, và 0, 0, và 0,, 0, và 0.
b) Gọi tiếp điểm của đường tròn (O) và (0,) là B, của đường tròn (0,) và (O) là C. Chứng minh BC170,0 ;
c) Tính độ dài đoạn BC.
48. Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB, hai tiếp tuyến Ax, By trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn (O). Tiếp tuyến tại điểm M của nửa đường tròn cắt Ax ở C, cắt By ở D.
a) Tam giác COD là tam giác gì ? Vì sao ?
b) Chứng minh CD= AC + BD ;
c) AM và BM cắt OC và OD theo thứ tự ở E và F. Tứ giác DEMF là hình gì ? Vì sao ?
d) Gọi I là giao điểm hai đường chéo OM và EF của tứ giác OEMF. Khi M thay đổi trên nửa đường tròn (O) thì điểm I chuyển động trên đường tròn nào ? Vì sao ?
e) Xác định vị trí của điểm M để tứ giác OEMF là hình vuông. Tính diện tích của hình vuông này, cho biết AB = 6cm.
49. Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB và một điểm I nằm giữa A và B. Gọi C là một điểm trên nửa đường tròn (O). Đường thẳng kẻ qua C vuông góc với IC cắt các tiếp tuyến của nửa đường tròn tại A và B lần lượt ở M và N.
a) Chứng minh ACAI V ACBN ;
b) So sánh hai tam giác ABC và INC;
c) Chứng minh MIN = 90°.
50. Cho tam giác MAB. Vẽ đường tròn tâm O, đường kính AB cắt MA ở C cắt MB ở D. Kẻ AP ICD, BQLCD. Gọi giao điểm của AD với BC là H. Chứng minh :
a) CP = DQ;
b) PD.DQ=PA.BQ và QCCP = PD.QD ;
c) MH I AB.
51. Cho đoạn thẳng AB. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB vẽ hai tia Ax và By song song với nhau. Một đường tròn tâm M tiếp xúc với AB C, với Ax ở D, với By ở E.
a) Trình bày cách dựng đường tròn tâm M ;
b) Chứng minh tổng AD+BE không phụ thuộc vào vị trí của Ax, By ;
c) Chứng minh ba điểm M, D, E thẳng hàng ;
d) Xác định vị trí tương đối của đường thẳng DE với đường tròn ngoại tiếp tam giác MAB.
52. Cho ba điểm J, I, J cùng nằm trên một đường thẳng theo thứ tự đó. Cho biết IJ =10cm, IJ = 4cm. Vẽ đường tròn (O) đường kính IJ và đường tròn (O) đường kính IJ”.
a) Chứng minh rằng đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài ở I;
b) Gọi A là một điểm trên đường tròn (O), tia AI cắt đường tròn (0) ở A”. Chứng minh AAIJ VAAII ;
c) Qua I kẻ một cát tuyến cắt đường tròn (O) ở B (B và A thuộc hai nửa mặt phẳng bờ IJ), cắt đường tròn (O’) ở B. Chứng minh AIAB A AIAB ;
d) Chứng minh AOAB C AOAB ;
e) Tứ giác ABAB là hình gì ? Vì sao ?
HƯỚNG DẪN GIẢI – ĐÁP SỐ
45. a) OE/7AH vì cùng vuông góc với CD nên OF // AH mà O là trung điểm của AB nên F là trung điểm của HB.
Tam giác BHK có EF/BK, lại có F là trung điểm của BH nên E là trung điểm của HK, do đó EH = EK.
Mặt khác, do OE LCD nên EC = ED. Suy ra EC – EH = ED-EK hay CH=KD.
b) Ta có : EF= BK, OF= AH. Do đó OE = EF-OF= (BK – AH). C) AAIH SABIK (g-g), ta có :
AI IH = ==, suy ra AI.IK = BI.IH. BI IK
Hình 104
2
46. a) OMI AC, ONICD nên MA =-A
Suy ra MN = MA + NA = }(AC+AD) = DC.
b) OM //ON vì cùng vuông góc với CD. Tứ giác MOON là hình thang.
Gọi giao điểm của đường thẳng kẻ qua I vuông góc với CD và CO là E thì IE song song với OM và ON, hơn nữa I là trung điểm của MN nên E là trung điểm của Oo, do đó điểm E cố định.
c) Trong hình thang vuông MNO0, ta có :
1
Hình 105
MN <00 mà MN = CD, suy ra CD<20ơ v ra (1) Kě OH IPQ, OK I CD. Chứng minh tương tự câu a) ta cũng có HK = PQ, nhưng HK =0o, vì thế PQ= 200 Từ (1) và (2), ta có PQ> CD. 47. a) Gọi giao điểm của đường tròn
(O) với 00, là B thế thì 0B = 3cm suy ra 0,B=2cm, nên B thuộc đường tròn (O). Ba điểm O, B, C, thẳng hàng và 0,04 =0,B+BO, , do đó đường tròn (0) và (0,) tiếp xúc ngoài ở A.
Hình 106 Tương tự đường tròn (O) và đường tròn (0,) tiếp xúc ngoài ở C. b) Ta có OB = OC (cùng bằng 2). Vậy BC (0,0,.
0,0, 0202″ c) AO,BC AO,0,0,, nên
BC_02C BC_2 0,02 0,0, hay 7 5 suy ra BC = 3 = 2,4 (cm).
48. a) Hai tiếp tuyến AC và MC của x nửa đường tròn (O) cắt nhau tại C . nên OC là tia phân giác của góc ck AOM.
Tương tự OD là tia phân giác của góc MOB. Suy ra OC LOD. Vậy ACOD vuông ở 0.
b) Theo tính chất tiếp tuyến, ta có: A H 0 K B MC =CA, DM = DB
Vậy CD = CM +MD=CA + BD. c) OE là tia phân giác của góc AOM trong tam giác cân AOM nên OE I AM do đó E =90°.
Tương tự F= 90°. MO là đường trung tuyến thuộc cạnh AB và MO bằng AB nên AMB= 90°. Tứ giác OEMF là hình chữ nhật, vì có ba góc vuông.
d) OI = OM không đổi nên I thuộc đường tròn tâm O, bán kính bằng KOM
Vì điểm M chuyển động trên nửa đường tròn tâm O đường kính AB nên điểm I chuyển động trên nửa đường tròn tâm O đường kính HK.
e) Hình chữ nhật OEMF là hình vuông khi và chỉ khi MO là tia phân giác của góc EMF = AAMB là tam giác cân (vì có MO vừa là đường trung tuyến vừa là đường phân giác)
+ MOLAB tại O. Vậy M là giao điểm của nửa đường tròn (O) với đường trung trực của AB. OEMF là hình vuông, ta có OM = EF và OM EF.
SOME = OM.EF = 1.32 = 4,5 (cm2). 49. a) Dễ dàng chứng minh được ACB=90°.
ACI = BCN (cùng phụ với góc ICB), CAI-CBN (cùng phụ với góc ABC ). ACAI V ACBN (theo câu a)
POMEF
nên CA _ CI
– = –
-, Suy ra —–
–
—
–
MR
>
N
СА СВ CBCN’Y CICN c) AACB AICN (theo câu b), ta có CNI = CBI
(1) Chứng minh tương tự câu a), ta có: ACBỊ VACAM và tương tự câu b ta có ABCA VAICM , suy ra CMI =CAI (2) Từ (1) và (2), ta có: CNI +CMI = CBI+CAI = 180o – ACB = 90°. Vậy MIN=180° -(CNI +CMI)=180° – 90° = 90°.
I
0
Ilinh 108
>
—-
50. a) Kẻ OILCD, ta có IC = ID.
OI là đường trung bình của hình thang ABQP, ta có IP = IQ. Vậy IP – IC = IQ– ID, suy ra CP = DQ. b) Dễ dàng chứng minh được ACB = ADB = 90°. Ta có ADP =DBQ vì cùng phụ với hai góc P 2 MDP = BDQ. APAD
PD PA AQDB (g-g) nên = =
Hình 109 suy ra PD.DQ= AP.BQ (1) Chứng minh tương tự AQCB APAC (g-g) nên <=>
PA PC suy ra PCQC=PA.BQ (2) Từ (1) và (2) ta có PC.QC = PDQD. c) H là trực tâm của tam giác MAB, do đó MHL AB.
1. a)-Dựng tia phân giác của góc BAx.
– Dựng tia phân giác của góc ABy, chúng cắt nhau ở M.. – Dung MC I AB.MD | Ax. MEI By rồi dựng đường tròn tâm M bán kính MC. b) Ta có : AD = AC, BC =BE Suy ra AD+BE = AC+CB= AB A không đổi.
0 CB Hình 110
c) MD I Ax mà Ax // By suy ra MD I By. Mặt khác ME I By nên MD trùng với ME, suy ra ba điểm D, M, E thẳng hàng.
d) MÁ và MB là tia phân giác của hai góc kề bù CMD và CME nên MAI MB tại M, do đó AAMB vuông ở M. Gọi O là trung điểm của AB thì OM là đường trung bình của hình thang ABED nên OM // AD, do đó OM LED ở M. Vậy đường thẳng DE
tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp AAMB ở M. 52. a) 00′ = OI+IO’.
Đường tròn (O) và đường tròn (O) tiếp xúc ngoài với nhau tại I. b) Dễ dàng chứng minh được IAJ = IA’I’ =90° Hai tam giác vuông IAJ và IAJ có:
AIJ = A’IJ’ = 90°
(hai góc đối đỉnh) Do đó AAIJ – NAIJ (g-g). c) SAIJ AA1 nên:
A. IA_D_10_5
Hoa 5. Hai tam giác cân OIB và O’IB có góc OIB=0IB (hai góc đối đỉnh) nên OBI=0B1 suy ra OB// O’B’, do đó 8 08
Hình 111
ID
IA
IB
IA
B
A’B’
IA
2
O’A’
O’B’
2
Suy ra A – B = , lại có AB = AIB (hai góc đối định) Do đó AIAB A AIAB (c-g-c) d) Do AIAB TO AIA’B’ nên AB A , mà 9A 9B –
y ra OA = OB = AB. Vậy AAOB AAOB (c.c.c). suyla OʻA’ OʻBABY e) Vì AAOB A AAOB nên OBA =0BA” mà OBI=0B1, do đó ABI = ABI, suy ra AB/AB. Tứ giác ABAB có hai cạnh đối song song nến là hình thang.