Nguồn website giaibai5s.com
BÀI TẬP NÂNG CAO CHƯƠNG III
51.
Giải các hệ phương trình sau :
J x – 1l+ly – 21 = 2 \/x – 11+ y = 3
bJ/x/+y=4
‘\x+3|y| = 6
14×2 + y2 – 4xy = 4 x? + y2 – 2(xy+8)=0
52. a) /x- y2 + 2y =1
|(x + y)2 – 2x – 2y = 0
o
(x+y+z=10
y+z+t=15 53. a) {
z+t+x=14
(x+y+z+t=0
X-y+z-t=-6 x-y-z+t=2 (x + y-2-t=0)
(+x+y=12
-+-=16 х у
54. a) 4+1=20
1 1 2 — – +- X+1 y +2
2 3 – +- x+1 y+2
3 1 – +- X+1 y+2
3 +- =10 Z+3
1 +—-=13 Z+3
2 +- =13
+3
y
Z
-+–=18 (2 X
4
X + –
= 2
+2x = 7
|z-1 55. a) 5x – 3y=3
2
— +y= 4,5 12-1
b) {y+-= 2
z+-= 2
56. Tìm giá trị của a để ba đường thẳng sau đồng quy:
(d): 2x – 3y = 8 ; (d): 7x – 5y = -5; (dz): y = (2a+3,2)x + 5a
57. Tìm giá trị của k để hệ phương trình sau có nghiệm:
x+3y- 7 =0 2x-y+7 = 0
(2x +k’y=7k-6
58. Tìm các giá trị của a để hệ phương trình sau có nghiệm x > 0, y > 0: x + ay = 2
ax – 2y = 3 lax – y = 1
13x + ay = 4 59. Tìm các giá trị nguyên của m để mỗi hệ phương trình sau có nghiệm thoả mãn : S2x+y=m
với x > 0, y > 0 ; “? (3x – 2y = 5
(3x + 5y = m
với x > 0, y < 0. b) 2x+y=1 60. Cho hệ phương trình : ax+by = 10 ay + bx = 10 | trong đó a, b là các số nguyên dương và a> b.
Tìm các cặp số (a;b) để hệ phương trình có nghiệm là số nguyên dương.
HƯỚNG DẪN GIẢI – ĐÁP SỐ
51. a) Từ phương trình thứ hai của hệ, ta có :
|x – 11 = 3 – y Thay vào phương trình thứ nhất của hệ, được :
| 3-y+ly-2=2 Với y < 2 phương trình trở thành
3-y+2-y=2 -2y=-3 y = 1,5 thoả mãn điều kiện y < 2, khi đó ta có x −1=1,5 suy ra x = 2,5 hoặc x=-0,5. Với y22, phương trình trở thành :
3-y+y− 2 = 2 = 0y =1. Phương trình vô nghiệm. Đáp số : (x;y)=(2,5 ; 1,5) ; (-0,5; 1,5). b) Xét 4 trường hợp: x < 0, y < 0; x 20, y < 0; x < 0, V20 và x > 0, y>0.
Đáp số : (x;y)=(3; 0); (-) (-2;-2); } } 52. a) X’-y +2y=1 x2 – y2 +2y=1 “}(x+y)? –2x+2y=0″/(x+y)? – 2(x+y) = 0
{x? -y? +2y=1
(x+y)(x + y-2) = 0 Sx2 – y2 +2y=1 ha 1×2 – y2 +2y=1
hoặc 2x+y = 0
(x+y–2 = 0 – trình Jx -y+2y-1=0 bằng phương pháp thế ta Giải hệ phương trình {
(x+y=0 được x = 0,5 và y=-0,5. Giải hệ phương trình Jx-y+2y=1…
” ta được x = 0,5 và y=1,5.
(x + y2 = 0 Đáp số : (x;y)=(0,5;-0,5); (0,5 ;1,5).
4x + y – 4xy = 4 (2x – y) -4=0 ” 1×2 + y2 – 2(xy+8)=0″ (x – y)2 –16=0
S(2x+y+2)(2x-y-2)=0
*(x-y+4)(x-y-4)=0) Giải 4 hệ phương trình: 12x – y +2 = 0 2x-y+2=0 S2x-y–2 = 0) 1x-y+4 = 0 ? x-y-450 x-y+4= 0 (2x-y-2=0 \x-y-4=0
Ta được : (x;y)=(2;6), (-1;-10), (6;10), (-2;-6). 53. a) Cộng theo từng vế bốn phương trình của hệ, được :
x+y+z+t=17 (*) Đem phương trình (*) trừ lần lượt phương trình thứ nhất, thứ hai, thứ ba, thứ tự theo từng vế, ta có :
t=7, x=2, y = 3, z=5 Đáp số : (x;y ;7;t)=(2;3;5;7) b) Cộng theo từng vế các phương trình của hệ, được :
4x = -4 AX=-1
(x+2+t=1
-y+z-1=-5 Thay x=-1 vào hệ phương trình, ta có :
1-y-Z+t=3
y+z-t=1 Giải hệ này được : y=1, z=-2, t= 2.
Đáp số : (x,y,z;t)=(-1;1;-2;2). 54. a) Cộng theo từng về các phương trình của hệ, được :
1 1 1 – +-+-= 27 (* 1 kiện x+ 0, y= 0, z4 0)
X Y Z Đem phương trình (*) trừ lần lượt theo từng về các phương trình của hệ
ta có : z=1; x=;;y=3
Đáp số : (x,y,z)
17 9
b) Điều kiện x +-1, y4–2, z4–3
X, —
Y và
Đặt —
X
—— = + 1
y +2
<=Z, ta có : Z+3 X + 2Y +3Z = 10 2X+3Y+Z=13 (3X +Y+2Z = 13 (3) Nhân hai vế của phương trình (1) với –2 rồi cộng theo từng vế với phương trình (2) được : Y+5Z=7 (4) Nhân theo từng vế của phương trình (1) với -3 rồi cộng theo từng vế với phương trình (3) được : 5Y+7Z=17 (5) Giải hệ gồm phương trình (4) và (5) được : Y =2, Z=1. Thay Y =2, Z=1 vào phương trình (1), có X=3 X+1 Suy ra { – – = 2 y = 2. y +2 Z=-2 _ =1 12+3 55. a) Điều kiện z + 1. Nhân hai vế của phương trình thứ ba với –2, rồi cộng với phương trình thứ nhất được : x-y=-1. Kết hợp phương trình này với phương trình thứ hai của hệ, được : x – y =-1 (5x – 3y = 3 Giải hệ này được x =3, y =4. Từ đó suy ra z=5. Đáp số : (x;y,z) =(3;4;5) b) Rút y từ phương trình thứ nhất, rút z từ phương trình thứ ba rồi thay các giá trị tìm được của y và z vào phương trình thứ hai. Từ đó tìm được x = y =Z=1.. 2x – 3y = 9 56. Giải hệ phương trình “17x – 5y = -5 Ta được : x =-5 ; y=-6. Muốn cho ba đường thẳng đồng quy thì đường thẳng (d,) phải đi qua giao điểm M(-5;-6) của hai đường thẳng (d) và (d2), nghĩa là : -6 = (2a +3,2)(-5)+ 5a = -6=-10a – 16+ 5a 5a =-10 a=-2 x+3y-7= 0 57. Giải hệ phương trình :{ (2x-y+7= 0 Ta được : x =-2 ; y= 3. Nếu hệ phương trình trên có nghiệm thì hai giá trị trên của x và của y phải thoả mãn phương trình thứ ba của hệ, nghĩa là : 2(-2) +3k= 7k- 6 3k? – 7k+2 = 0) = (3k – 1)(x – 2) =0ek =, hoặc k = 2 a+ 2 a +2 Với k=và k = 2, ta được hai hệ phương trình và cả hai hệ phương trình đều có nghiệm. 58. a) Rút x từ phương trình thứ nhất của hệ được : x = 2 –ay. Thay giá trị này vào phương trình thứ hai có : (a? +2)y= 2a-1 2a-1 a +4 Do a^+2>0 với mọi a nên y = 5 4. Từ đó lại có x=Để x > 0, y>0 thì phải có :
2a-1 a? +2 2a-1>0 a >>
2 Fa>
a>-4 la? +2 b) Rút y từ phương trình thứ nhất của hệ được : y = ax^. Thay giá trị này của y vào phương trình thứ hai của hệ có : (a’ +6)x = 3a +8
4a – 9 Do a +6 >0 với mọi a nên x =7
3a +8
. Từ đó y =)
a+4
lat4>0
Để x > 0, y< 0 thì phải có : 3a + 8 o 2_ (3a +8>0
olm
a“ +6 4a-9
–
<a
<
4a -9 <0 a2 +6 2m +5 59. a) Giải tương tự bài 58, ta được x =>
3m-10
It
Để x > 0, y< 0 thì phải có : 2m + 5 m >
2m +5> 0
nia
<
<m<
m
<
who
3m-10
3m-10<0 30=1060 **{sm–1020 Mặt khác me Z nên me{-2;-1;0;1;2;3} b) Giải tương tự bài 58, ta được : 5-m – X 2m-3 · y= sm >5
Đề x < 0, y < 0 thì phải có :
15-m< 0 12m-3<0 Niw u 2m-3 In Không có giá trị nào của m thoả mãn đồng thời hai điều kiện trên. Vậy không có số nguyên m nào thoả mãn đề bài. 60. Trừ theo từng vế hai phương trình của hệ, ta được : (a – b)(x – y) = 0 Vì a > b nên a − b > 0 hay a-b + 0, do đó x-y=0, suy ra x=y. Thay x = y vào hệ phương trình ta lại có : (a+b)x =10
VX
10
a + b
Vì a+b > 0 nên x = 9, suy ra a+b là ước nguyên của 10, hơn nữa a> b. Từ đó ta tìm được các cặp số (a; b) thoả mãn đề bài là
(a ; b) = (4 ;1), (3;2), (6;4), (7;3), (8;2), (9;1).
51.
Giải các hệ phương trình sau :
J x – 1l+ly – 21 = 2 \/x – 11+ y = 3
bJ/x/+y=4
‘\x+3|y| = 6
14×2 + y2 – 4xy = 4 x? + y2 – 2(xy+8)=0
52. a) /x- y2 + 2y =1
|(x + y)2 – 2x – 2y = 0
o
(x+y+z=10
y+z+t=15 53. a) {
z+t+x=14
(x+y+z+t=0
X-y+z-t=-6 x-y-z+t=2 (x + y-2-t=0)
(+x+y=12
-+-=16 х у
54. a) 4+1=20
1 1 2 — – +- X+1 y +2
2 3 – +- x+1 y+2
3 1 – +- X+1 y+2
3 +- =10 Z+3
1 +—-=13 Z+3
2 +- =13
+3
y
Z
-+–=18 (2 X
4
X + –
= 2
+2x = 7
|z-1 55. a) 5x – 3y=3
2
— +y= 4,5 12-1
b) {y+-= 2
z+-= 2
56. Tìm giá trị của a để ba đường thẳng sau đồng quy:
(d): 2x – 3y = 8 ; (d): 7x – 5y = -5; (dz): y = (2a+3,2)x + 5a
57. Tìm giá trị của k để hệ phương trình sau có nghiệm:
x+3y- 7 =0 2x-y+7 = 0
(2x +k’y=7k-6
58. Tìm các giá trị của a để hệ phương trình sau có nghiệm x > 0, y > 0: x + ay = 2
ax – 2y = 3 lax – y = 1
13x + ay = 4 59. Tìm các giá trị nguyên của m để mỗi hệ phương trình sau có nghiệm thoả mãn : S2x+y=m
với x > 0, y > 0 ; “? (3x – 2y = 5
(3x + 5y = m
với x > 0, y < 0. b) 2x+y=1 60. Cho hệ phương trình : ax+by = 10 ay + bx = 10 | trong đó a, b là các số nguyên dương và a> b.
Tìm các cặp số (a;b) để hệ phương trình có nghiệm là số nguyên dương.
HƯỚNG DẪN GIẢI – ĐÁP SỐ
51. a) Từ phương trình thứ hai của hệ, ta có :
|x – 11 = 3 – y Thay vào phương trình thứ nhất của hệ, được :
| 3-y+ly-2=2 Với y < 2 phương trình trở thành
3-y+2-y=2 -2y=-3 y = 1,5 thoả mãn điều kiện y < 2, khi đó ta có x −1=1,5 suy ra x = 2,5 hoặc x=-0,5. Với y22, phương trình trở thành :
3-y+y− 2 = 2 = 0y =1. Phương trình vô nghiệm. Đáp số : (x;y)=(2,5 ; 1,5) ; (-0,5; 1,5). b) Xét 4 trường hợp: x < 0, y < 0; x 20, y < 0; x < 0, V20 và x > 0, y>0.
Đáp số : (x;y)=(3; 0); (-) (-2;-2); } } 52. a) X’-y +2y=1 x2 – y2 +2y=1 “}(x+y)? –2x+2y=0″/(x+y)? – 2(x+y) = 0
{x? -y? +2y=1
(x+y)(x + y-2) = 0 Sx2 – y2 +2y=1 ha 1×2 – y2 +2y=1
hoặc 2x+y = 0
(x+y–2 = 0 – trình Jx -y+2y-1=0 bằng phương pháp thế ta Giải hệ phương trình {
(x+y=0 được x = 0,5 và y=-0,5. Giải hệ phương trình Jx-y+2y=1…
” ta được x = 0,5 và y=1,5.
(x + y2 = 0 Đáp số : (x;y)=(0,5;-0,5); (0,5 ;1,5).
4x + y – 4xy = 4 (2x – y) -4=0 ” 1×2 + y2 – 2(xy+8)=0″ (x – y)2 –16=0
S(2x+y+2)(2x-y-2)=0
*(x-y+4)(x-y-4)=0) Giải 4 hệ phương trình: 12x – y +2 = 0 2x-y+2=0 S2x-y–2 = 0) 1x-y+4 = 0 ? x-y-450 x-y+4= 0 (2x-y-2=0 \x-y-4=0
Ta được : (x;y)=(2;6), (-1;-10), (6;10), (-2;-6). 53. a) Cộng theo từng vế bốn phương trình của hệ, được :
x+y+z+t=17 (*) Đem phương trình (*) trừ lần lượt phương trình thứ nhất, thứ hai, thứ ba, thứ tự theo từng vế, ta có :
t=7, x=2, y = 3, z=5 Đáp số : (x;y ;7;t)=(2;3;5;7) b) Cộng theo từng vế các phương trình của hệ, được :
4x = -4 AX=-1
(x+2+t=1
-y+z-1=-5 Thay x=-1 vào hệ phương trình, ta có :
1-y-Z+t=3
y+z-t=1 Giải hệ này được : y=1, z=-2, t= 2.
Đáp số : (x,y,z;t)=(-1;1;-2;2). 54. a) Cộng theo từng về các phương trình của hệ, được :
1 1 1 – +-+-= 27 (* 1 kiện x+ 0, y= 0, z4 0)
X Y Z Đem phương trình (*) trừ lần lượt theo từng về các phương trình của hệ
ta có : z=1; x=;;y=3
Đáp số : (x,y,z)
17 9
b) Điều kiện x +-1, y4–2, z4–3
X, —
Y và
Đặt —
X
—— = + 1
y +2
<=Z, ta có : Z+3 X + 2Y +3Z = 10 2X+3Y+Z=13 (3X +Y+2Z = 13 (3) Nhân hai vế của phương trình (1) với –2 rồi cộng theo từng vế với phương trình (2) được : Y+5Z=7 (4) Nhân theo từng vế của phương trình (1) với -3 rồi cộng theo từng vế với phương trình (3) được : 5Y+7Z=17 (5) Giải hệ gồm phương trình (4) và (5) được : Y =2, Z=1. Thay Y =2, Z=1 vào phương trình (1), có X=3 X+1 Suy ra { – – = 2 y = 2. y +2 Z=-2 _ =1 12+3 55. a) Điều kiện z + 1. Nhân hai vế của phương trình thứ ba với –2, rồi cộng với phương trình thứ nhất được : x-y=-1. Kết hợp phương trình này với phương trình thứ hai của hệ, được : x – y =-1 (5x – 3y = 3 Giải hệ này được x =3, y =4. Từ đó suy ra z=5. Đáp số : (x;y,z) =(3;4;5) b) Rút y từ phương trình thứ nhất, rút z từ phương trình thứ ba rồi thay các giá trị tìm được của y và z vào phương trình thứ hai. Từ đó tìm được x = y =Z=1.. 2x – 3y = 9 56. Giải hệ phương trình “17x – 5y = -5 Ta được : x =-5 ; y=-6. Muốn cho ba đường thẳng đồng quy thì đường thẳng (d,) phải đi qua giao điểm M(-5;-6) của hai đường thẳng (d) và (d2), nghĩa là : -6 = (2a +3,2)(-5)+ 5a = -6=-10a – 16+ 5a 5a =-10 a=-2 x+3y-7= 0 57. Giải hệ phương trình :{ (2x-y+7= 0 Ta được : x =-2 ; y= 3. Nếu hệ phương trình trên có nghiệm thì hai giá trị trên của x và của y phải thoả mãn phương trình thứ ba của hệ, nghĩa là : 2(-2) +3k= 7k- 6 3k? – 7k+2 = 0) = (3k – 1)(x – 2) =0ek =, hoặc k = 2 a+ 2 a +2 Với k=và k = 2, ta được hai hệ phương trình và cả hai hệ phương trình đều có nghiệm. 58. a) Rút x từ phương trình thứ nhất của hệ được : x = 2 –ay. Thay giá trị này vào phương trình thứ hai có : (a? +2)y= 2a-1 2a-1 a +4 Do a^+2>0 với mọi a nên y = 5 4. Từ đó lại có x=Để x > 0, y>0 thì phải có :
2a-1 a? +2 2a-1>0 a >>
2 Fa>
a>-4 la? +2 b) Rút y từ phương trình thứ nhất của hệ được : y = ax^. Thay giá trị này của y vào phương trình thứ hai của hệ có : (a’ +6)x = 3a +8
4a – 9 Do a +6 >0 với mọi a nên x =7
3a +8
. Từ đó y =)
a+4
lat4>0
Để x > 0, y< 0 thì phải có : 3a + 8 o 2_ (3a +8>0
olm
a“ +6 4a-9
–
<a
<
4a -9 <0 a2 +6 2m +5 59. a) Giải tương tự bài 58, ta được x =>
3m-10
It
Để x > 0, y< 0 thì phải có : 2m + 5 m >
2m +5> 0
nia
<
<m<
m
<
who
3m-10
3m-10<0 30=1060 **{sm–1020 Mặt khác me Z nên me{-2;-1;0;1;2;3} b) Giải tương tự bài 58, ta được : 5-m – X 2m-3 · y= sm >5
Đề x < 0, y < 0 thì phải có :
15-m< 0 12m-3<0 Niw u 2m-3 In Không có giá trị nào của m thoả mãn đồng thời hai điều kiện trên. Vậy không có số nguyên m nào thoả mãn đề bài. 60. Trừ theo từng vế hai phương trình của hệ, ta được : (a – b)(x – y) = 0 Vì a > b nên a − b > 0 hay a-b + 0, do đó x-y=0, suy ra x=y. Thay x = y vào hệ phương trình ta lại có : (a+b)x =10
VX
10
a + b
Vì a+b > 0 nên x = 9, suy ra a+b là ước nguyên của 10, hơn nữa a> b. Từ đó ta tìm được các cặp số (a; b) thoả mãn đề bài là
(a ; b) = (4 ;1), (3;2), (6;4), (7;3), (8;2), (9;1).