BÀI TẬP NÂNG CAO CHƯƠNG I

42. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, AB=c, AC = b, CB = a.
Chứng minh : a/ sin A = b/sin B = c/ sin C
43. Không dùng bảng số và máy tính, hãy tính :
a) sin? 12° +sin? 22° + sino 32° +sin58° +sin? 68° +sin? 78° ;
b) cos^15° + cos225° + cos235° + cos255° + cos265° + cos2 750 – 3
44. Không dùng bảng số và máy tính, hãy tính :
a) 4 cos 0-6 sin^ a , biết sin a= ;
b) sin a.cosa, biết tga+ cot go = 3.
45. Chứng minh rằng với mọi góc nhọn a, thì mỗi biểu thức sau không
phụ thuộc 2 :
a) A = (sin a +cosa)2 – 2 sin acosa-1 ;
b) B=(sin a – cosa)? + 2 sin acosa +1 ;
c) C = (sin a + cosa)? +(sin a-cosa)? +2.
46. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, AB=c, AC = b, CB=a.
Chứng minh : b2 = a2 +c- Zac cos B.
47. Cho tam giác ABC vuông ở A, C= 0 (0 < 45°), trung tuyến AM, đường cao AH. Biết BC = a, AC = b, AH = h.

a) Tính sin , coso , sin 2x theo a, b, h;

b) Chứng minh : sin 2x = 2sin cosa.

48. Cho tam giác ABC cân ở A, đường cao thuộc cạnh bên bằng h, góc ở đáy bằng a. Chứng minh: SABC — Asin acosa

HƯỚNG DẪN GIẢI ĐÁP SỐ

42. Kẻ AHL BC (xem hình 48).

Tam giác AHB vuông ở H, ta có : ΑΗ sin B= AB

Tam giác AHBC vuông ở H, ta có : sin C = AL с АН AC: BH & C

sin B AH AH AC b Suy ra. sin C AB AC ABC =

Do đó b = c sin B sin C … а ь

Chứng minh tương tự : sin A sin B a b c Từ (1) và (2) suy ra: * sin A sin B sin C

43. a) Ta biết rằng nếu x và B là các góc nhọn mà a+

B = 90° thì sin a = cos3, sin B = cosa,

do đó ; sin 789 = cos 12o, sin 68° = cos22°, sin 58° = cos32o.

Vậy : sino12° + sino 22° +sin? 32° + sin? 58° +sin? 68° +sin? 78°

= (sin? 12° + cos212°) +(sin? 22° + cos222°)+(sin? 32° + cos232°) =1+1+1=3 (vi sin? Q + cos?a=1).

b) Tương tự câu a).

Đáp số : 1+1+1−3=0.

44. a) Cách 1. 4 cos 0-6 Sino a = 4cos^4+4 sinox-10 sina.

= 4(cos’a+sin? a)-10 sin?a 102 _18_36 = 4.1-10. 25 555 =3,6.

Cách 2. Vì sino a+ cos^2=1 nên cos a=1-sin? a.

Do đó : 4cos? a-6sin’ a = 4(1-sin’a) – 6 sin’a = 4-10 sino a

Từ đây ta có kết quả bằng 3,6.

b) Ta có : sina cosa sin’a+cos a 1 tga+cotga = – + cosa sina sin acosa sin acosa

Suy ra – sin acosa tga + cot ga = 3, nên sin acosa = =. Hình 49

45. Khai triển, rút gọn rồi sử dụng sinox+ cos a=1.

Đáp số : a) A =0 ; b) B=2 ; c) C = 4.

46. Ké AH 1 BC.

Cách 1. Tam giác AHC vuông ở H, ta có:

AC2 = AH2 + HCP = AH? +(BC-HB)

= AH? + BC? +HB’ – 2HB.BC.

= (AH2 + HB2)+a – 2a.HB BH a C

Trong tam giác vuông AHB thì : AH? +HB = AB’ = co, HB= AB.cosB.

Từ đó ta có: b = c +a? – 2ac cos B.

Cách 2. Trong tam giác vuông AHB, ta có:

AH = AB sin B=csin B, HB = ab cos B=ccos B.

Suy ra HC = BC-HB=a-c cos B.

Tam giác AHC vuông ở H, ta có :

AC2 = AH2 + HC = (csin B)? +(a-ccos B)?

=c-sinB+a? +c>cos2B – Zac cos B
=a? +c+(sin? B+cos’B) – 2ac cos B

Vậy bỏ = a^2 – 2ac cos B.
47. a) Tam giác AHC vuông ở H, ta có : sin a = sin C = AH =h 1)
AC “)

Tam giác ABC vuông ở A, ta có :
AC b cosa = cosC=
– (2)
BC a Từ (1) và (2) suy ra :
2h 2 sin acosa = —
(3)
а Góc AMB là góc ngoài của tam giác cân AMC nên AMB = 2Ĉ = 2a.

Tam giác AHM vuông ở H, ta có :
AH , a 2h sin 2a = sin AMH = – AM 2 a

b) Từ (3) và (4), ta suy ra : 2 sin cosa = sin2x.

48. Kė BE I AC.
Tam giác BEC vuông ở E, ta có :
–
h:- –
—
(4)
sin a = sin C – BE_h
-, suy ra BC == BC BC
sina Kẻ đường cao AH thì :
HB = HC =-BC=_
HC Hình 51
12”2sina Trong tam giác vuông AHC thì :
h AH = HCtga =- tga
2 sin a
h sina _ h_ 2 sin a cosa 2 cosa
in
a
h
SABC
1 h h -BC.AH =
2 sin a 2 cosa
4 sin acosa