BÀI TẬP NÂNG CAO CHƯƠNG I
77. Tính :
a) V6+245 +16–215 ;
b) V5,5+372 – V5,5–32
672
c) (3-15)/3+V5 +(3+15)3-V5 ; d) (4+V15)/4-vī5(710-vo).
78. Thực hiện phép tính :
14 4
—; b) 17- 24 +1 +7+124 – 1 “V9-415 V9+4v
2 1 3
V8-2V15 15–276 17+2VTO
79. Tính :
a) A = 1512 +7 – 15.12–7;
b) B = 20+142 +320-1472.
80. Cho biểu thức : M =y-5xy +6x.
a) Phân tích M thành nhân tử ;
18
b) Tính giá trị của M khi x =4,
5, y =
4+ 5
81. Cho biểu thức : P =(x+1)(x + 2)(x+3)(x +4)+1
a) Chứng minh rằng P20 với mọi x;
b) Tính giá trị của P khi x=7-5
82. Chứng minh rằng: a) +
83. Cho x – 5x +14 – x – 5x +10 = 2.
Tính giá trị của biểu thức : M = (x -5x+14 + x -5x+10.
84. Tìm các số x, y, z biết: x+y+z+11=2 /x + 4y-1+6Vz-2.
85. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
Q=Vx2 + 4x +4 +Vx2 – 4x +4.
86. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :
S= (x – 2 + y-3, biết x+y=6.
87. Giải các phương trình :
a) Vx2 – 6x+9 = V1+v3 ; b) Vx-v2x-1 = v2 ;
c) V2x2 – 4x +3+ V3x2 – 6x + 7 = 2 – x2+2x.
88. a) Cho x, y là các số không âm. Chứng minh: * >/xy.
Dấu đẳng thức xảy ra khi nào ?
b) Cho x > 0, y > 0, chứng minh: –
+
Dấu đẳng thức xảy ra khi nào ?
4ab 89. Cho a > 0, b > 0, chứng minh: a+b=””
1+ab
a b c 90. Cho a > 0, b > 0, chứng minh: “+=+=> 3.
ь с а 91. Cho a, b, c là các số không âm. Chứng minh rằng :
a+b+c2 Vab+ Vac + vbc.
HƯỚNG DẪN GIẢI – ĐÁP SỐ
a) (5 +1} + 5-1} = 5 +1+5-
1 5++5-1
=2V5 : b) Nhân tử và mẫu của biểu thức đã cho với 2 , ta được : 11+6V2 -V11-62 (
32)? (3-2) 3+(-13- 312 -3+02_Jਨ c) (3-V5W3+5+(3+5W3-5
=3-5.3+5 (3-5 +3+5) = 3 -(5)(3-5 +3+5)=2(3-5 +3+5) = 26 25 +6+2V5)=2V5-1} +5+1 )
– 25-1+5+1) = 2.25 2V10. d) (4+15)4-15 (10 – 6)
=4+(1534 – 1534+15)(V0-6) =4+V15(Vi0 -6 (4+1590 -96)? =V4(4 – Vi534+15) = =2.
78. a)
8. ” Ver6–1 +1 kv6+1° -1 =1+1 Vo+1-1
01052017 Jous-v27. Just wait – Fvo V2 voiva – 2015 +93)–(V3 – Vā) 305-13)
2 =(15+13)–(73–V2)-(V5-V2)= 0. 79. a) Cách 1. Ta có :
512 + 7 = 272 +3122.1+3.12.1? +1} = (V2 +1)*. Tương tự 5/2 -7=(V2 -1). Vậy A = 5/2 +/- 5/2 -7 = ( 2 + – (12-)
= V2+1-12 +1 = 2. Cách 2. Đặt 35/2 +7 = a, 5/2 -7 = b, ta có :
a’- bo = 512 +7=(5V2 – 7)=14
ab=(5V2 + 7)(572 – 7) =1. Mặt khác ao –bỏ =(a – b) + 3ab(a – b), do đó : 14 = A +3A A’ +3A – 14 = 0 (A-2)(A? +2A+7) = 0) Vi A? + 2A +7 = (A+1) +6>0 với mọi A nên A-2=0, suy ra A = 2.
b) Tương tự a). Đáp số B=4. 80. a) M=(Vy–2x)(Vy –3x).
18 18(4-17) 18(4-17) b) Ta có: yra
4+17 (4+17)(4-17) 9
=8–277 = (17 –1)?
V
IV ra
M=(1657–13 -2.5 X 1657–12 -3.3) =( 57 +$}.7+1= 224,937
81. a) P =(x2 +5x + 4)(x2 +5x+6)+1.
Đặt xo +5x+4=a , ta có :
P = a(a +2)+1=(a +1)^ =(x2 + 5x+5)* 20 với mọi x.
b) Với x , ta có: p={(W792, 51729.45 – ( 7-1097 +25+1047-50 + 20 9 7
82. a) Trục căn thức ở mẫu của mỗi phân thức, ta được :
+
+
1+12 72 +3 .199+V100 = V2–1+ V3 – V2 + … + 199 – 198+ V100 – 199 = V100 – 1 =10–1=9. b) Ta có: 1 1 1 1 1 1
VB 7100 101 100 10 **’ V100 10 và tin that * vioo -100=10. 83. Ta có :
2M=(x2–5x+14 +Vx2–5x+10). (Vx2–5x+14-Vx°-5x+10)
= (x -5x+14) -(x – 5x +10) = 4. Suy ra M = 2. 84. x+y+z=11= {x +4y-1+6Vz-2. | Điều kiện x20, 21,322.
(Vx – 1)2 +(Vy-1-2) +(12-2 – 3)2 = 0 (((x – 1)2 = 0 [x=1
(Vy-1-2)2 = 0 {y=5 |(1z-2 –3)? = 0 (z=11
85. Biến đổi Q về dạng :
Q=\x+2/+/x-2 Cách 1. Xét ba trường hợp sau : Với x <-2, ta có Q=-x-2-x+2=-2x >4 ; Với -2 < x < 2, ta có Q=x+2x+2 = 4 ; Với x > 2, ta có Q=x+2+x – 2 = 2x >4.
Từ đó suy ra
Q
= 4
–2
x
< 2. Cách 2. Sử dụng bất đẳng thức a + b = a + b. Dấu đẳng thức xảy ra khi ab >0.
Q=[x+2/+/x-21=/x+2/+12 – x|
2/x+2+2 – x| = 141 = 4. Vậy Qin = 4e (x+2)(2-x)>08-2<x<2.
86. Trước hết ta chứng minh : a + b </2(a +b*) (*) (a+b20). Áp dụng (*), ta có :
S=vx-2 +Vy-35/2(x −2+y-3) = V2. Smok = V2 =*=2=y=3 ={x=2,5
C1x+y=6 ly = 3,5.
87. a) |x– 3 = V3 +1. Suy ra x-3+ /3 +le x = 4+ 43 ; với x23.
x −3= -3 -lex=2-43 ; với x < 3. b) Nhân hai vế của phương trình với 42 , ta có : V2x-1-2/2x-1+1 = V2.12 VJ2x-1 -1)2 = 2
|v2x – 1 – 11 = 2.
Suy ra • 2x -1-1=2 = (2x – 1 =3= 2x−1=9
2x = 10 + x=5;
•/2x-1-1=-28 [2x-12-1, phương trình vô nghiệm. c) Ta có : (2x – 4x +3 = 2(x-1) +121 với mọi x,
V3x -6x+7 = 3(x-1) +4 22 với mọi x.
Do đó vế trái của phương trình :
V2x2 – 4x +3+V3x2 – 6x +7 21+2 = 3. (1)
Vế phải : 2–x+2x =3=(x^ – 2x +1)=3=(x-1)* <3 với mọi x (2) Từ (1) và (2) suy ra phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi : 2(x-1)2 +1 = 1 |V2x2 – 4x +3+13×2 – 6x +7 = 3 J 1122 2-x2 + 2x = 3 3-(x-1)2 = 3 88. a) Với x, y là các số không âm, ta có : (Vx – Vy)? 20 = x+y-2/xy 20ex+y22/xy **Y2/xy Dấu đẳng thức xảy ra khi Vx-Vy=0 Vx = Vy > x=y.
b) Theo câu a), ta có : x+y22/xy.
Chia 2 vế cho xy >0, ta có :
Dấu đẳng thức xảy ra khi x =y.
89. Theo bài 88, ta có :
a+b22Vab ; 1+ab 2 2Vab.
Vì các vế của hai bất đẳng thức đầu dương nên :
(a+b)(1+ ab) – 4ab. Chia hai vế cho 1+ab > 0, ta được:
4ab a+b> ab+1
90.
Giả sử a 2b 2c >0, khi đó b(a-c)2 c(a –c) hay ab – bc+c^ >ạc
b b c suy ra —+-21 vì ac > 0).
Ca a Mặt khác ta có : 4 2. Cộng theo từng vế hai bất đẳng thức trên, ta được :
a b – +-
91. Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho các số không âm a, b, c, ta có:
a+b>2Vab ; b+c2 2Vbc ;
a+c22Vac.
Cộng theo từng vế ba bất đẳng thức trên, ta được :
2(a+b+c) > 2(Vab +Vbc + Vac) Aa+b+c2 Vab + Vac + vbc.
ha
c. +- > 3.
а