I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1. Giải phương trình chứa ẩn ở mẫu thức :
Biến đổi phương trình về dạng A.B = 0 (A, B là các đa thức bậc nhất hoặc bậc hai) rồi giải phương trình này để tìm nghiệm của phương trình đã cho. 2. Giải phương trình trùng phương ax4 + bx2 +c=0, a ≠ 0
|
Nguồn website giaibai5s.com
Ví dụ 11: Giải phương trình 2-4
X-5 x– 5x x Giải:
X-7 X+5 1 2
x-5 x? -5x x Điều kiện xác định của phương trình x +0, x + 5. Quy đồng mẫu hai vế, rồi khử mẫu ta được :
2x(x-5)-x(x-7)= x+5-(x–5) # 2×2 –10x – x2 + 7x = x+5-x+5 2×2 – 10x – x2 +7x-x+x-5-5=0 x2 – 3x –10=0 A=(-3) – 4.1.(-10)=9+40 = 49, suy ra A = 449 = 7.
3+7 Vậy x =- -= 5; X = .==-2.
V
X
=
Vi x =5 không thoả mãn điều kiện xác định. Vậy phương trình đã cho có một nghiệm x=-2. Ví dụ 12:Giải phương trình x^ – 6×2–7 =0 Giải: Đặt x =t, t20, ta có : tỏ –ốt -7 =0 (*)
A =(-3) +7=16, suy ra A = {16 = 4 Vậy t = 3+4 =7; t =3–4=-1.
Vì t =-1 không thoả mãn điều kiện t>0, do đó phương trình (*) chỉ có nghiệm t=7. Với t=7, ta lại có : x^ = 7 = x^ J7 = 0
(x+17)(x-17)=0 x, =-17, x2 = 17.
Phương trình đã cho có hai nghiệm : x = -7 ; x = 47.
Ví dụ 13 : Giải phương trình:
a) (x2 – 2x)2 – 14(x2 – 2x)–15=0;
b) x-9-2VX- 1 = 0.
Giải:
a) Đặt xỏ – 2x =t , ta có : tỏ – 14t-15 = 0 A = (-7)+15 = 64 , suy ra A = 64 = 8. Do đó : t =7+8=15 ; t =7-8=-1.
– Với t =15, ta được : x2 – 2x –15= 0 + (x − 1)2 –16=0 = (x+3)(x – 5) = 0
– x =-3 hoặc xy = 5 – Với t, =-1, ta được :
x2 – 2x +1=0 (x – 1)’ = 0 X3 = X4 = 1 Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x =-3 ; x = 5 ; = x =1. b) x-9-2VX-1 = 0 + (x-1)-2Vx-1-8=0 Điều kiện x 21, đặt (x – 1 =t, t>0, ta có : tỏ – 2t-8=0 (*)
A=(-1)^+8=9, suy ra A = 9 =3 Do đó : t =1+3=4 ; t = 1-3 =–2. | Vì t =-2 <0, không thoả mãn điều kiện t>0 nên phương trình (*) chỉ có nghiệm t= 4, khi đó ta lại có :
Vx-1=4 X-1 = 16 x=17 Vậy phương trình đã cho có nghiệm x=17.
V
II. BÀI TẬP
u
:
—
=0
;
—
2 –
37. Giải các phương trình sau : a) x(x – 1)(x – 2) – xo +1=0; b) (x+6)2 – 4x + 7 = 2(x+3)”; x+3 (x + 5)(x – 2)
X (x-3) C) -3=
2 3 38. Giải các phương trình sau: X-2 X 11
X+5 1-2x X X-1 6
2x-1 X+5 1 3 1
30 13 18x+7 3×2-27 4 X-3
x?- 1 x + x +1 X -1 39. Giải các phương trình sau bằng cách đưa về dạng tích :
a) x’ – 5×2 – 2x+10=0; b) x3 – 3×2 – 3x +1 = 0;
c) x’ – 6×2 +6x – 1 = 0; d) (2×2 – 5x + 1)2 = (x2 – 5x+6). 40. Giải các phương trình trùng phương: a) x4 – 6×2 – 7 = 0);
b) x4 – 5×2 +4 =0;
C) 4,5x* + 4×2-1=0; d) 4x® – 29+ 29 = 0. 41. Giải các phương trình sau bằng cách đặt ẩn phụ :
a) (6x’ – 7x)2 – 2(6x– 7x) — 3 = 0) ; b) (x2 – X+1)(x2 – x + 3) = 15; c) x-2-2/x – 2 =8 ;
0) (x + 1) -4,5(x+1)+5=0.
X
)
III. HƯỚNG DẪN GIẢI – ĐÁP SỐ
37. a) Biến đổi phương trình về dạng : 3x – 2x -1=0
Đáp số : x = 1 ; x = b) Biến đổi phương trình về dạng : x2+4x – 25 = 0 Đáp số : x = -2+29 ; x2 =-2 -29 . c) Quy đồng mẫu hai vế, khử mẫu rồi biến đổi phương trình về dạng :
4×2 +9x – 13=0 Đáp số : x =1; x, =-3,25 d) Biến đổi phương trình về dạng : x +40x +57=0
A’ = 202 – 57 = 343. Đáp số : x =-20+343 ; x, =-20-343. 38. a) Điều kiện x +0, x +1,
Phương trình được biến đổi về dạng : x2–7x +12=0
Giải phương trình này được : x = 4 ; X, =3. Cả hai giá trị này đều thoả mãn điều kiện x +0, x+1.
Đáp số : x = 4 ; x = 3. b) Điều kiện x +-5, x + Phương trình được biến đổi về dạng : x – 12x +36 =0 A =6” – 36 =0, phương trình có nghiệm kép x = xy = 6 thoả mãn
điều kiện x 4-5, x +
.
Đáp số : x = xy = 6.
c) Điều kiện x ++3.
Phương trình được biến đổi về dạng : 3x +12x +5=0
Giải phương trình này được : x =-6+21.1 —V21
3 Cả hai giá trị này của x đều thoả mãn điều kiện x = +3. Đáp số : x = -6+21, x = -6-21
d) Do x’ +x+1=
x+
với mọi x, do đó điều kiện xác định
của phương trình là x ++1. Phương trình được biến đổi về dạng: x – 5x – 36 =0 Phương trình này có hai nghiện x =–4 ; x2 = 9 đều thoả mãn điều kiện x +1.
Đáp số : x =–4 ; x =9. 39. a) x’ – 5×2 – 2x+10=0 + x2(x – 5)–2(x – 5) = 0
(x2 – 2)(x – 5)=0 + (x + 2)(x-v2)(x–5)= 0 Phương trình có ba nghiệm : x =/2 ; x = V2 và x, =5. b) x’ – 3×2 – 3x +1=0 + (x + 1)(x2 – x +1) – 3x(x +1)=0
= (x +1)(x – 4x +1)=0ex+1=0 hoặc x^4x +1=0 • X+1=0 x=-1. • x-4x +1. Phương trình này có hai nghiệm:
x= 2+V3 ; x2 = 2-13. Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm :
x=-1 ; x = 2+V3 ; x = 2–13. c) Tương tự câu b).
x? – 6×2 +6x – 1=0 + (x – 1)(x2 – 5x+1)= 0 Đáp số : x =1; , 5+29 , , 25-29 d) (2×2 – 5x + 1)2 = (x2–5x+6) + (x2 –5)(x2 – 10x+7)=0 exo -5=0 hoặc x – 10x +7=0 • xo -5=0P(x + 5)(x-1)=0Bx =-5 hoặc x = 5. • x-10x +7 =0. Phương trình này có hai nghiệm x = 2,5 ; x =1.
Vậy phương trình đã cho có bốn nghiệm:
x=-15 ; x2 = 15 ; X; = 2,5 ; X4 =1.
40. a) Đặt x =t, t20, ta có : tỏ -6t-7=0
Phương trình này có nghiệm t =7, t, =-1, nhưng chỉ có t =7 thoả mãn điều kiện t>0. Với t=7, ta có x2 =7, do đó x=f/7. Phương trình đã cho có hai nghiệm x = 47 ; x = 7.
b) Đặt x =t, t>0, ta có : tỏ – 5t+4=0. Phương trình này có hai nghiệm t =4, tp =1.
– Với t = 4 thì x=4e (x+2)(x – 2)=0x =+2.
– Với t = 2 thì x =1=(x+1)(x-1)=0 = x =+1.
Tập nghiệm của phương trình đã cho là : S={-2;-1;1;2} c) 4,5x* + 4×2 – – = 0 + 9x* +8×2 – 1 = 0
Đặt x2 =t, t>0, ta có : 9t: +8t-1=0
(*) Phương trình này có hai nghiệm t = , t, =-1. Vì t =-1 không
V
thoả mãn điều kiện t> 0 nên phương trình (*) chỉ có nghiệm t =
Khi đó : x =, suy ra x=1
IV ra X
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x =; xy =d) Điều kiện x = 0, ta có :
4×2 – 29+25= 0 4×4 – 29×2 +25= 0 Đặt x =t, t>0, ta có : 4t – 29t+25 =0 | A= 292 – 4.4.25 = 841-400 = 441, suy ra A = 441 = 21.
29-21 -1. _29+21 = 6,25 ; t2 = 8 Do đó: t = 8
a
X
– Với t = 6,25 thì x = 6, 25, suy ra x =+2,5 – Với t, =1 thì x=1, suy ra x =+1. Tập nghiệm của phương trình đã cho là : S={-2,5;-1; 1; 2,5}
41. a) Đặt 6×2 – 7x =t, ta có : tỏ – 2t-3=0
Phương trình có nghiệm: t =3 ; t =-1 – Với t = 3 thì 6×2 – 7x-3=0 Phương trình này có hai nghiệm: x = – Với t, =-1 thì 6x – 7x +1 = 0
xy = 1
Phương trình này có hai nghiệm : x3 = 1 ; X =
|
3
Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là : S= 1; b) x2–x+1=(x+ 1350 với mọi x. Đặt x” –x+1=t thì t> 0, ta có : t(t+ 2)=15 eto +2t-15 = 0 Phương trình này có hai nghiệm : t =5 ; t = -4 nhưng chỉ có th=5 thoả mãn điều kiện t> 0. Với t=5, ta có : x^ –x+1=5 exo -x 4 =0
Phương trình này có hại nghiêm : x. If 17:v -1-V17
2
ix, -l-vīz
Đáp số : x = +7 , x = -37
2
c) Điều kiện x – 2202 x 22. Đặt /x – 2 =t, t20, ta có : 2 – 2t-8=0 Phương trình có hai nghiệm : t =4, t, =-2 , nhưng chỉ có t = 4 thoả mãn điều kiện t>0. Với t= 4 thì x – 2 = 4. Suy ra x =18 thoả mãn x>0. Vậy phương trình đã cho có một nghiệm x =18. d) Điều kiện x + ).
Đặt X +
=t, ta có : tỏ – 4, 5t +5 = 0
X
A=(-4,5)-4.1.5 = 20,25 – 20 = 0,25, suy ra
A = (0,25 = 0,5.
Do đó t =
4,5+0,5
4,5-0,5 -= 2,5 ; t2 =
2
– Với t = 2,5 thì x+= 2,5 2x -5x+ 2 =0
Phương trình này có hai nghiệm: x = 2 ; x =
– Với t = 2 thì x+1=2 = x – 2x+1=0 Phương trình này có nghiệm kép: x =x, =1. Vậy phương trình đã cho có bốn nghiệm:
X, = 2 ; X2 == ; X3 = X 4 =1.
X-5 x– 5x x Giải:
X-7 X+5 1 2
x-5 x? -5x x Điều kiện xác định của phương trình x +0, x + 5. Quy đồng mẫu hai vế, rồi khử mẫu ta được :
2x(x-5)-x(x-7)= x+5-(x–5) # 2×2 –10x – x2 + 7x = x+5-x+5 2×2 – 10x – x2 +7x-x+x-5-5=0 x2 – 3x –10=0 A=(-3) – 4.1.(-10)=9+40 = 49, suy ra A = 449 = 7.
3+7 Vậy x =- -= 5; X = .==-2.
V
X
=
Vi x =5 không thoả mãn điều kiện xác định. Vậy phương trình đã cho có một nghiệm x=-2. Ví dụ 12:Giải phương trình x^ – 6×2–7 =0 Giải: Đặt x =t, t20, ta có : tỏ –ốt -7 =0 (*)
A =(-3) +7=16, suy ra A = {16 = 4 Vậy t = 3+4 =7; t =3–4=-1.
Vì t =-1 không thoả mãn điều kiện t>0, do đó phương trình (*) chỉ có nghiệm t=7. Với t=7, ta lại có : x^ = 7 = x^ J7 = 0
(x+17)(x-17)=0 x, =-17, x2 = 17.
Phương trình đã cho có hai nghiệm : x = -7 ; x = 47.
Ví dụ 13 : Giải phương trình:
a) (x2 – 2x)2 – 14(x2 – 2x)–15=0;
b) x-9-2VX- 1 = 0.
Giải:
a) Đặt xỏ – 2x =t , ta có : tỏ – 14t-15 = 0 A = (-7)+15 = 64 , suy ra A = 64 = 8. Do đó : t =7+8=15 ; t =7-8=-1.
– Với t =15, ta được : x2 – 2x –15= 0 + (x − 1)2 –16=0 = (x+3)(x – 5) = 0
– x =-3 hoặc xy = 5 – Với t, =-1, ta được :
x2 – 2x +1=0 (x – 1)’ = 0 X3 = X4 = 1 Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x =-3 ; x = 5 ; = x =1. b) x-9-2VX-1 = 0 + (x-1)-2Vx-1-8=0 Điều kiện x 21, đặt (x – 1 =t, t>0, ta có : tỏ – 2t-8=0 (*)
A=(-1)^+8=9, suy ra A = 9 =3 Do đó : t =1+3=4 ; t = 1-3 =–2. | Vì t =-2 <0, không thoả mãn điều kiện t>0 nên phương trình (*) chỉ có nghiệm t= 4, khi đó ta lại có :
Vx-1=4 X-1 = 16 x=17 Vậy phương trình đã cho có nghiệm x=17.
V
II. BÀI TẬP
u
:
—
=0
;
—
2 –
37. Giải các phương trình sau : a) x(x – 1)(x – 2) – xo +1=0; b) (x+6)2 – 4x + 7 = 2(x+3)”; x+3 (x + 5)(x – 2)
X (x-3) C) -3=
2 3 38. Giải các phương trình sau: X-2 X 11
X+5 1-2x X X-1 6
2x-1 X+5 1 3 1
30 13 18x+7 3×2-27 4 X-3
x?- 1 x + x +1 X -1 39. Giải các phương trình sau bằng cách đưa về dạng tích :
a) x’ – 5×2 – 2x+10=0; b) x3 – 3×2 – 3x +1 = 0;
c) x’ – 6×2 +6x – 1 = 0; d) (2×2 – 5x + 1)2 = (x2 – 5x+6). 40. Giải các phương trình trùng phương: a) x4 – 6×2 – 7 = 0);
b) x4 – 5×2 +4 =0;
C) 4,5x* + 4×2-1=0; d) 4x® – 29+ 29 = 0. 41. Giải các phương trình sau bằng cách đặt ẩn phụ :
a) (6x’ – 7x)2 – 2(6x– 7x) — 3 = 0) ; b) (x2 – X+1)(x2 – x + 3) = 15; c) x-2-2/x – 2 =8 ;
0) (x + 1) -4,5(x+1)+5=0.
X
)
III. HƯỚNG DẪN GIẢI – ĐÁP SỐ
37. a) Biến đổi phương trình về dạng : 3x – 2x -1=0
Đáp số : x = 1 ; x = b) Biến đổi phương trình về dạng : x2+4x – 25 = 0 Đáp số : x = -2+29 ; x2 =-2 -29 . c) Quy đồng mẫu hai vế, khử mẫu rồi biến đổi phương trình về dạng :
4×2 +9x – 13=0 Đáp số : x =1; x, =-3,25 d) Biến đổi phương trình về dạng : x +40x +57=0
A’ = 202 – 57 = 343. Đáp số : x =-20+343 ; x, =-20-343. 38. a) Điều kiện x +0, x +1,
Phương trình được biến đổi về dạng : x2–7x +12=0
Giải phương trình này được : x = 4 ; X, =3. Cả hai giá trị này đều thoả mãn điều kiện x +0, x+1.
Đáp số : x = 4 ; x = 3. b) Điều kiện x +-5, x + Phương trình được biến đổi về dạng : x – 12x +36 =0 A =6” – 36 =0, phương trình có nghiệm kép x = xy = 6 thoả mãn
điều kiện x 4-5, x +
.
Đáp số : x = xy = 6.
c) Điều kiện x ++3.
Phương trình được biến đổi về dạng : 3x +12x +5=0
Giải phương trình này được : x =-6+21.1 —V21
3 Cả hai giá trị này của x đều thoả mãn điều kiện x = +3. Đáp số : x = -6+21, x = -6-21
d) Do x’ +x+1=
x+
với mọi x, do đó điều kiện xác định
của phương trình là x ++1. Phương trình được biến đổi về dạng: x – 5x – 36 =0 Phương trình này có hai nghiện x =–4 ; x2 = 9 đều thoả mãn điều kiện x +1.
Đáp số : x =–4 ; x =9. 39. a) x’ – 5×2 – 2x+10=0 + x2(x – 5)–2(x – 5) = 0
(x2 – 2)(x – 5)=0 + (x + 2)(x-v2)(x–5)= 0 Phương trình có ba nghiệm : x =/2 ; x = V2 và x, =5. b) x’ – 3×2 – 3x +1=0 + (x + 1)(x2 – x +1) – 3x(x +1)=0
= (x +1)(x – 4x +1)=0ex+1=0 hoặc x^4x +1=0 • X+1=0 x=-1. • x-4x +1. Phương trình này có hai nghiệm:
x= 2+V3 ; x2 = 2-13. Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm :
x=-1 ; x = 2+V3 ; x = 2–13. c) Tương tự câu b).
x? – 6×2 +6x – 1=0 + (x – 1)(x2 – 5x+1)= 0 Đáp số : x =1; , 5+29 , , 25-29 d) (2×2 – 5x + 1)2 = (x2–5x+6) + (x2 –5)(x2 – 10x+7)=0 exo -5=0 hoặc x – 10x +7=0 • xo -5=0P(x + 5)(x-1)=0Bx =-5 hoặc x = 5. • x-10x +7 =0. Phương trình này có hai nghiệm x = 2,5 ; x =1.
Vậy phương trình đã cho có bốn nghiệm:
x=-15 ; x2 = 15 ; X; = 2,5 ; X4 =1.
40. a) Đặt x =t, t20, ta có : tỏ -6t-7=0
Phương trình này có nghiệm t =7, t, =-1, nhưng chỉ có t =7 thoả mãn điều kiện t>0. Với t=7, ta có x2 =7, do đó x=f/7. Phương trình đã cho có hai nghiệm x = 47 ; x = 7.
b) Đặt x =t, t>0, ta có : tỏ – 5t+4=0. Phương trình này có hai nghiệm t =4, tp =1.
– Với t = 4 thì x=4e (x+2)(x – 2)=0x =+2.
– Với t = 2 thì x =1=(x+1)(x-1)=0 = x =+1.
Tập nghiệm của phương trình đã cho là : S={-2;-1;1;2} c) 4,5x* + 4×2 – – = 0 + 9x* +8×2 – 1 = 0
Đặt x2 =t, t>0, ta có : 9t: +8t-1=0
(*) Phương trình này có hai nghiệm t = , t, =-1. Vì t =-1 không
V
thoả mãn điều kiện t> 0 nên phương trình (*) chỉ có nghiệm t =
Khi đó : x =, suy ra x=1
IV ra X
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x =; xy =d) Điều kiện x = 0, ta có :
4×2 – 29+25= 0 4×4 – 29×2 +25= 0 Đặt x =t, t>0, ta có : 4t – 29t+25 =0 | A= 292 – 4.4.25 = 841-400 = 441, suy ra A = 441 = 21.
29-21 -1. _29+21 = 6,25 ; t2 = 8 Do đó: t = 8
a
X
– Với t = 6,25 thì x = 6, 25, suy ra x =+2,5 – Với t, =1 thì x=1, suy ra x =+1. Tập nghiệm của phương trình đã cho là : S={-2,5;-1; 1; 2,5}
41. a) Đặt 6×2 – 7x =t, ta có : tỏ – 2t-3=0
Phương trình có nghiệm: t =3 ; t =-1 – Với t = 3 thì 6×2 – 7x-3=0 Phương trình này có hai nghiệm: x = – Với t, =-1 thì 6x – 7x +1 = 0
xy = 1
Phương trình này có hai nghiệm : x3 = 1 ; X =
|
3
Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là : S= 1; b) x2–x+1=(x+ 1350 với mọi x. Đặt x” –x+1=t thì t> 0, ta có : t(t+ 2)=15 eto +2t-15 = 0 Phương trình này có hai nghiệm : t =5 ; t = -4 nhưng chỉ có th=5 thoả mãn điều kiện t> 0. Với t=5, ta có : x^ –x+1=5 exo -x 4 =0
Phương trình này có hại nghiêm : x. If 17:v -1-V17
2
ix, -l-vīz
Đáp số : x = +7 , x = -37
2
c) Điều kiện x – 2202 x 22. Đặt /x – 2 =t, t20, ta có : 2 – 2t-8=0 Phương trình có hai nghiệm : t =4, t, =-2 , nhưng chỉ có t = 4 thoả mãn điều kiện t>0. Với t= 4 thì x – 2 = 4. Suy ra x =18 thoả mãn x>0. Vậy phương trình đã cho có một nghiệm x =18. d) Điều kiện x + ).
Đặt X +
=t, ta có : tỏ – 4, 5t +5 = 0
X
A=(-4,5)-4.1.5 = 20,25 – 20 = 0,25, suy ra
A = (0,25 = 0,5.
Do đó t =
4,5+0,5
4,5-0,5 -= 2,5 ; t2 =
2
– Với t = 2,5 thì x+= 2,5 2x -5x+ 2 =0
Phương trình này có hai nghiệm: x = 2 ; x =
– Với t = 2 thì x+1=2 = x – 2x+1=0 Phương trình này có nghiệm kép: x =x, =1. Vậy phương trình đã cho có bốn nghiệm:
X, = 2 ; X2 == ; X3 = X 4 =1.