I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
| • Gọi O, O’ là tâm của hai đường tròn. Đường thẳng do gọi là đường nối tâm, đoạn thẳng OO’ gọi là đoạn nối tâm. Đường nối tâm là trục đối xứng của hình gồm hai đường tròn (O) và đường tròn (O’).
• Nếu hai đường tròn (O), (O’) tiếp xúc nhau thì tiếp điểm A nằm trên đường nối tâm OO’. • Nếu hai đường tròn cắt nhau thì đường nối tâm vuông góc với dây chung và đi qua trung điểm của dây chung. • Hai đường tròn (O; R) và (O’;r) có R ≥ r. Khi đó mỗi vị trí tương đối giữa hai đường tròn ứng với hệ thức giữa R, r và OO’ được cho theo bảng sau :
• Trên hình 92, các đường thẳng d, d, là tiếp tuyến chung ngoài của hai đường tròn (O) và (O’), các đường thẳng m , m, là các tiếp tuyến chung trong của hai đường tròn (O) và (O’)
|
Nguồn website giaibai5s.com
Ví dụ 8 : Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau ở A và B (0 và 0 thuộc hai nửa mặt phẳng bờ AB). Kẻ các đường kính BOC và BOD.
a) Chứng minh ba điểm C, A, D thẳng hàng ;
b) Biết 00 =5cm, OB = 4cm, OB = 3cm. Tính diện tích tam giác BCD. Giải:
a) Cách 1. Tam giác ABC có đường trung tuyến AO bằng một nửa cạnh BC nên BAC = 90°.
Tam giác ABD có đường trung tuyến AO bằng một nửa cạnh BD nên ABD = 90°.
Do đó BAC+BAD = 90° +90° = 180°.
Vậy ba điểm C, A, D thẳng hàng.
Cách 2. Tam giác BCD có 0 là trung điểm của cạnh BC, O là trung điểm của cạnh BD nên 007/ CD (1)
Gọi giao điểm của OO’ với AB là 1 thì I là trung điểm của AB.
Tam giác ABC có 0 là trung điểm của BC, I là trung điểm của AB nên Qo’ll CA (2)
Từ (1) và (2) theo tiến đề dclít về đường thẳng song song, ta có C, A, D thẳng hàng.
b) Ta có : OB^ + BO? = 4 + 3^ = 25 =5=00 Vậy AOBO vuông ở B. Suy ra ABCD vuông ở B.
BC = 2BO = 8cm , BD = 2BO’ — 6cm.
ABC
SxBc = .BC.BD = 1.8.6 = 24 (cm?)
Ví dụ 9 : Cho hai đường tròn (O) và (0,) tiếp xúc ngoài tại A. Đường thẳng kẻ qua A cắt đường tròn (0) ở B, cắt đường tròn (0,) ở C. Qua B kẻ tiếp tuyến Bx với đường tròn (0), qua C kẻ tiếp tuyến Cy với đường tròn (0,). Chứng minh:
a) OB song song với 0,C;
b) Bx song song với Cy.
Giải :
a) Tam giác OAB cân ở 0, vì có 0,4 =0B nên A = BỊ (1)
Tam giác 0,AC cân ở O, vì có 0,4 =0,C nên Ấp = (2)
Mà A = A2 (đối đỉnh) nên từ (1) và (2) suy ra B =C.
Vậy 0B/70,C (hai góc ở vị trí so le trong bằng nhau).
b) Cách 1. Bx là tiếp tuyến của đường tròn (O) ở B nên 0 Bx = 90° hay B + B = 90°.
Cy là tiếp tuyến của đường tròn (0,) ở C nên 0,Cy = 90° hay Ĉi + Ĉ2 = 90°.
Mà B1 = ĉi, suy ra B2 =C. Vậy Bx || Cy (hai góc ở vị trí so le trong bằng nhau).
Cách 2. Qua A kẻ tiếp tuyến chung của hai đường tròn (O) và O, cắt Bx ở I, cắt Cy ở E, ta có : IA = IB nên AAIB cân ở I, do đó BC = AB. EA = EC nên AAIC cân ở E, do đó C = A4.
Mà A = A4 (hai góc đối đỉnh), suy ra B = C. Vậy Bx // Cy (hai góc vị trí so le trong bằng nhau).
II. BÀI TẬP
36. Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Vẽ đường tròn tâm O đường kính OA. Dây cung AC của đường tròn (O) cắt đường tròn 0 ở M. Chứng minh :
a) Đường tròn tâm O tiếp xúc với đường tròn tâm O tại A ;
b) OM song song với 0C;
c) OM song song với BC.
37. Hai đường tròn (0 ; 6,5cm) và (0, ; 7,5cm) giao nhau tại A và B. Tính độ dài đoạn nối tâm 00, , biết AB=12cm.
38. Cho hai đường tròn (O), (0,) tiếp xúc trong tại A (đường tròn (0,) nằm trong đường tròn (O)). Qua A kẻ một đường thẳng cắt (O) ở B, cắt (0,) ở C. So sánh So, AB với So,ẶC biết bán kính các đường tròn đã cho là 7cm và 5cm.
39. Cho hai đường tròn (O) và (O) giao nhau tại M và N. Gọi I là trung điểm của 00. Đường thẳng kẻ qua M vuông góc với MI cắt đường tròn (O) và (O’) lần lượt ở A và B. Hai đường thẳng vuông góc với AB tại A và B cắt đường tròn (O) ở P, cắt đường tròn (O) ở Q.
a) Chứng minh M là trung điểm của AB ;
b) MI cắt PQ ở E, chứng minh EP = EQ.
40. Cho hai đường tròn đồng tâm O và đường tròn (O’) tiếp xúc với cả hai đường tròn trên tại hai điểm A và B.
a) Chứng minh bốn điểm A, B, 0, 0 thẳng hàng ;
b) Tính bán kính của đường tròn (O), biết bán kính các đường tròn đồng tâm bằng 5cm và 9cm.
41. Cho hai đường tròn (O), (0,) tiếp xúc ngoài ở M. Qua M vẽ hai đường thẳng, đường thẳng thứ nhất cắt (0) ở A, cắt (0,) ở B, đường thẳng thứ hai cắt (0) ở A,, cắt (0,) ở A. Chứng minh :
a) 10,A,M WA02BM;
b) AMA,A, LAMB,B2 ;
c) A, A2 song song với B,B2.
42. Trên hình 95 : AB là tiếp tuyến chung ngoài, АС
CC và DD là các tiếp tuyến chung trong của hai đường tròn (O) và (0,).
0, X •O, Chứng minh AC = BD.
AD, C,
43. Hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A. Đường nối tâm 00 cắt đường tròn (O) ở B, cắt đường tròn (0) C. DE là một tiếp tuyến chung ngoài của hai đường tròn (Ds (0), EE (O’)). Gọi M là giao điểm của hai đường thăng BD và CE. Chứng minh :
a) DME = 90°;
b) MA là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (O) và (O’);
c) MD.MB = ME.MC.
44. Cho tam giác ABC vuông ở A.
a) Trình bày cách vẽ đường tròn (O) đi qua A và tiếp xúc với BC tại B, đường tròn (,) đi qua A và tiếp xúc với BC tại C;
b) Chứng minh đường tròn (O) và (0,) tiếp xúc ngoài với nhau tại A ;
c) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh AM là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (O), (0,) tại A.
III. HƯỚNG DẪN GIẢI – ĐÁP SỐ
36. a) Ba điểm A, 0, 0 thẳng hàng đồng thời
00′ = OA-O’A.
Vậy đường tròn (O) tiếp xúc trong với đường tròn (O) tại A.
b) AOAC cân ở O, ta có OAC = OCA. AOAM cân ở 0, ta có OAM =0MA.
Mà OAC=OAM, suy ra AMD = ACO. Do đó OC/OM (hai góc ở vị trí đồng vị bằng nhau).
c) Do OM //ỌC (theo câu a), mà OA = 60 nên M là trung điểm của AC.
Vì thế OM là đường trung bình của tam giác ABC, do đó OM // BC. 37. Ta có 0,0, I AB tại H nên HA = HB=6 (cm).
Tam giác AOH vuông ở H:
H
U2
H
B
a)
Hình 97
b)
Tam giác AOH vuông ở H: OH =0,A? – AH = 6,52–6^ = 6, 25 ; suy ra (OH = 2,5 (cm). Theo hình a) thì : 00, =0H+HO, = 2,5+ 4,5=7 (cm).
Theo hình b) thì : 0,0, =0,H-OH = 4,5-2,5 = 2 (cm). 38. Hai tam giác OAB và 0,AC là các tam giác cân có 0,AB=0,AB, do đó AOCABU A0,AC
O,B 7 theo tỉ số đồng dạng: m=;
12
Vậy So AB = 7 , suy ra so,
so,xc
SAC
Hình 98
A
39. a) Kě OH IAM, OʻK I MB, ta có :
OH//O’K. Tứ giác HKOO là hình thang. MILAB nên MI/OH mà I là trung điểm 00 , do đó M là trung điểm của HK, suy ra MH = MK. OHIMA nên MH = HA hay MH=-MA
1
EN
Tương tự MK = MB.
2
Hình 90 Suy ra MA = MB, tức M là trung điểm AB. b) Tứ giác APQB là hình thang, ME là đường trung bình của hình thang đó nên E là trung điểm của PQ hay EP = EQ.
40. a) Hai điểm A và B cùng nằm trên đường nối tâm 00′, do đó bốn
điểm A, 0, 0′, B thẳng hàng. b) Xét hai trường hợp:
OA-OB 9-5 – Trên hình 100a : OA => -=- =2 (cm).
OA+OB – Trên hình 100b : 0’A =
ata
9+5
=14 (cm).
linh 100
b)
.:
A.2
Hình 101
a
.
41. a) A0, A,M W 40,B,M (8-8) b) Theo câu a):
40,A, M ( 10,B,M HÀ MA OAI ner MB, 0,B,
(1) 40,AM, S AO,MB, (g-g) man MA, 0,A (2)
MB, 0,B, mà OA =0,A, , 0,B =0,B, , do đó, từ (1) và (2) suy ra :
MA, MA,
MB MB Lại có AMA, = BMB, (hai góc đối đỉnh). Do đó AMA, A, O AMB,B, (c-g-c) c) Theo câu b): AMAA, AMBB, ta có MAA, = MBB,
do đó AA/BB. 42. Theo tính chất hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm, ta có :
CB = CC ; DA = DD, ; CA = CE ; ME = MD, ; DB = DF ; MF = MC,
Do đó CD+MC+MD=CD+CM + MC +DB
= CD+CM+MC, + DB =(CD+DB)+(CM+MC)
= BC +CC, = 2BC Tương tự CD+MC+ MD = AD+ DD = 2AD
Từ (1) và (2) suy ra 2BC= 2AD hay BC = AD.
43. a) Góc AOD là góc ngoài tại đỉnh O của tam giác cân BOD nến AOD = 2DBO hay B = LAOD.
Tương tự C-AOE. Suy ra B+ĉ= (AOD +AO’E).
Do CD và OE cùng vuông góc với DE nên OD//OE, suy ra AOD + AOʻE = 180o. Từ đó B+C = 90°.
b) Tứ giác ADME là hình chữ nhật vì D = M = E =90°.
Gọi I là giao điểm hai đường chéo DE và MA, ta có IA = ID. AIDO = AIAO (C.C.c), suy ra 1AO = IDO = 90° hay MA I BC.
Vậy MA là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (O) và (O’).
c) Tam giác AB vuông ở A, có AE 1 MC, nên : MA’ = ME.MC suy ra MD.MB = ME.MC.
44. a) Dựng đường tròn (O)
– Dụng đường trung trực của cạnh AB.
– Qua B dựng đường thẳng vuông góc với BC cắt đường trung trực của AB ở 0.
– Dựng đường tròn tâm O, bán kính OA. Tương tự, ta dựng được đường tròn (O,) thoả mãn đề bài.
b) Các tam giác OAB và 0,AC là các tam giác cân, ta có :
0 AB=0,BA và 0,AC = 0,CA
Ta lại có 0,BA + ABC = 90° và 0,CA + ACB = 90°.
Mà ABC + ACB= 90° nên O BA +0,CA = 90.
Suy ra 0,AB+0,AC = 90°. Do đó OAB+ BAC+CAO, =180°.
Ba điểm O, A, 0, thẳng hàng và 00, =0,A+AO,, vì thế hai đường tròn (O) và (0,) tiếp xúc ngoài tại A.
c) AM là trung tuyến thuộc cạnh huyền của tam giác vuông ABC nên MA = MB. AMAO = AMBO (c.c.c), suy ra MAO = MBO = 90°, do đó MA 100, ở A. Vậy AM là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (0) và (0,) tại A.
a) Chứng minh ba điểm C, A, D thẳng hàng ;
b) Biết 00 =5cm, OB = 4cm, OB = 3cm. Tính diện tích tam giác BCD. Giải:
a) Cách 1. Tam giác ABC có đường trung tuyến AO bằng một nửa cạnh BC nên BAC = 90°.
Tam giác ABD có đường trung tuyến AO bằng một nửa cạnh BD nên ABD = 90°.
Do đó BAC+BAD = 90° +90° = 180°.
Vậy ba điểm C, A, D thẳng hàng.
Cách 2. Tam giác BCD có 0 là trung điểm của cạnh BC, O là trung điểm của cạnh BD nên 007/ CD (1)
Gọi giao điểm của OO’ với AB là 1 thì I là trung điểm của AB.
Tam giác ABC có 0 là trung điểm của BC, I là trung điểm của AB nên Qo’ll CA (2)
Từ (1) và (2) theo tiến đề dclít về đường thẳng song song, ta có C, A, D thẳng hàng.
b) Ta có : OB^ + BO? = 4 + 3^ = 25 =5=00 Vậy AOBO vuông ở B. Suy ra ABCD vuông ở B.
BC = 2BO = 8cm , BD = 2BO’ — 6cm.
ABC
SxBc = .BC.BD = 1.8.6 = 24 (cm?)
Ví dụ 9 : Cho hai đường tròn (O) và (0,) tiếp xúc ngoài tại A. Đường thẳng kẻ qua A cắt đường tròn (0) ở B, cắt đường tròn (0,) ở C. Qua B kẻ tiếp tuyến Bx với đường tròn (0), qua C kẻ tiếp tuyến Cy với đường tròn (0,). Chứng minh:
a) OB song song với 0,C;
b) Bx song song với Cy.
Giải :
a) Tam giác OAB cân ở 0, vì có 0,4 =0B nên A = BỊ (1)
Tam giác 0,AC cân ở O, vì có 0,4 =0,C nên Ấp = (2)
Mà A = A2 (đối đỉnh) nên từ (1) và (2) suy ra B =C.
Vậy 0B/70,C (hai góc ở vị trí so le trong bằng nhau).
b) Cách 1. Bx là tiếp tuyến của đường tròn (O) ở B nên 0 Bx = 90° hay B + B = 90°.
Cy là tiếp tuyến của đường tròn (0,) ở C nên 0,Cy = 90° hay Ĉi + Ĉ2 = 90°.
Mà B1 = ĉi, suy ra B2 =C. Vậy Bx || Cy (hai góc ở vị trí so le trong bằng nhau).
Cách 2. Qua A kẻ tiếp tuyến chung của hai đường tròn (O) và O, cắt Bx ở I, cắt Cy ở E, ta có : IA = IB nên AAIB cân ở I, do đó BC = AB. EA = EC nên AAIC cân ở E, do đó C = A4.
Mà A = A4 (hai góc đối đỉnh), suy ra B = C. Vậy Bx // Cy (hai góc vị trí so le trong bằng nhau).
II. BÀI TẬP
36. Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Vẽ đường tròn tâm O đường kính OA. Dây cung AC của đường tròn (O) cắt đường tròn 0 ở M. Chứng minh :
a) Đường tròn tâm O tiếp xúc với đường tròn tâm O tại A ;
b) OM song song với 0C;
c) OM song song với BC.
37. Hai đường tròn (0 ; 6,5cm) và (0, ; 7,5cm) giao nhau tại A và B. Tính độ dài đoạn nối tâm 00, , biết AB=12cm.
38. Cho hai đường tròn (O), (0,) tiếp xúc trong tại A (đường tròn (0,) nằm trong đường tròn (O)). Qua A kẻ một đường thẳng cắt (O) ở B, cắt (0,) ở C. So sánh So, AB với So,ẶC biết bán kính các đường tròn đã cho là 7cm và 5cm.
39. Cho hai đường tròn (O) và (O) giao nhau tại M và N. Gọi I là trung điểm của 00. Đường thẳng kẻ qua M vuông góc với MI cắt đường tròn (O) và (O’) lần lượt ở A và B. Hai đường thẳng vuông góc với AB tại A và B cắt đường tròn (O) ở P, cắt đường tròn (O) ở Q.
a) Chứng minh M là trung điểm của AB ;
b) MI cắt PQ ở E, chứng minh EP = EQ.
40. Cho hai đường tròn đồng tâm O và đường tròn (O’) tiếp xúc với cả hai đường tròn trên tại hai điểm A và B.
a) Chứng minh bốn điểm A, B, 0, 0 thẳng hàng ;
b) Tính bán kính của đường tròn (O), biết bán kính các đường tròn đồng tâm bằng 5cm và 9cm.
41. Cho hai đường tròn (O), (0,) tiếp xúc ngoài ở M. Qua M vẽ hai đường thẳng, đường thẳng thứ nhất cắt (0) ở A, cắt (0,) ở B, đường thẳng thứ hai cắt (0) ở A,, cắt (0,) ở A. Chứng minh :
a) 10,A,M WA02BM;
b) AMA,A, LAMB,B2 ;
c) A, A2 song song với B,B2.
42. Trên hình 95 : AB là tiếp tuyến chung ngoài, АС
CC và DD là các tiếp tuyến chung trong của hai đường tròn (O) và (0,).
0, X •O, Chứng minh AC = BD.
AD, C,
43. Hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A. Đường nối tâm 00 cắt đường tròn (O) ở B, cắt đường tròn (0) C. DE là một tiếp tuyến chung ngoài của hai đường tròn (Ds (0), EE (O’)). Gọi M là giao điểm của hai đường thăng BD và CE. Chứng minh :
a) DME = 90°;
b) MA là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (O) và (O’);
c) MD.MB = ME.MC.
44. Cho tam giác ABC vuông ở A.
a) Trình bày cách vẽ đường tròn (O) đi qua A và tiếp xúc với BC tại B, đường tròn (,) đi qua A và tiếp xúc với BC tại C;
b) Chứng minh đường tròn (O) và (0,) tiếp xúc ngoài với nhau tại A ;
c) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh AM là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (O), (0,) tại A.
III. HƯỚNG DẪN GIẢI – ĐÁP SỐ
36. a) Ba điểm A, 0, 0 thẳng hàng đồng thời
00′ = OA-O’A.
Vậy đường tròn (O) tiếp xúc trong với đường tròn (O) tại A.
b) AOAC cân ở O, ta có OAC = OCA. AOAM cân ở 0, ta có OAM =0MA.
Mà OAC=OAM, suy ra AMD = ACO. Do đó OC/OM (hai góc ở vị trí đồng vị bằng nhau).
c) Do OM //ỌC (theo câu a), mà OA = 60 nên M là trung điểm của AC.
Vì thế OM là đường trung bình của tam giác ABC, do đó OM // BC. 37. Ta có 0,0, I AB tại H nên HA = HB=6 (cm).
Tam giác AOH vuông ở H:
H
U2
H
B
a)
Hình 97
b)
Tam giác AOH vuông ở H: OH =0,A? – AH = 6,52–6^ = 6, 25 ; suy ra (OH = 2,5 (cm). Theo hình a) thì : 00, =0H+HO, = 2,5+ 4,5=7 (cm).
Theo hình b) thì : 0,0, =0,H-OH = 4,5-2,5 = 2 (cm). 38. Hai tam giác OAB và 0,AC là các tam giác cân có 0,AB=0,AB, do đó AOCABU A0,AC
O,B 7 theo tỉ số đồng dạng: m=;
12
Vậy So AB = 7 , suy ra so,
so,xc
SAC
Hình 98
A
39. a) Kě OH IAM, OʻK I MB, ta có :
OH//O’K. Tứ giác HKOO là hình thang. MILAB nên MI/OH mà I là trung điểm 00 , do đó M là trung điểm của HK, suy ra MH = MK. OHIMA nên MH = HA hay MH=-MA
1
EN
Tương tự MK = MB.
2
Hình 90 Suy ra MA = MB, tức M là trung điểm AB. b) Tứ giác APQB là hình thang, ME là đường trung bình của hình thang đó nên E là trung điểm của PQ hay EP = EQ.
40. a) Hai điểm A và B cùng nằm trên đường nối tâm 00′, do đó bốn
điểm A, 0, 0′, B thẳng hàng. b) Xét hai trường hợp:
OA-OB 9-5 – Trên hình 100a : OA => -=- =2 (cm).
OA+OB – Trên hình 100b : 0’A =
ata
9+5
=14 (cm).
linh 100
b)
.:
A.2
Hình 101
a
.
41. a) A0, A,M W 40,B,M (8-8) b) Theo câu a):
40,A, M ( 10,B,M HÀ MA OAI ner MB, 0,B,
(1) 40,AM, S AO,MB, (g-g) man MA, 0,A (2)
MB, 0,B, mà OA =0,A, , 0,B =0,B, , do đó, từ (1) và (2) suy ra :
MA, MA,
MB MB Lại có AMA, = BMB, (hai góc đối đỉnh). Do đó AMA, A, O AMB,B, (c-g-c) c) Theo câu b): AMAA, AMBB, ta có MAA, = MBB,
do đó AA/BB. 42. Theo tính chất hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm, ta có :
CB = CC ; DA = DD, ; CA = CE ; ME = MD, ; DB = DF ; MF = MC,
Do đó CD+MC+MD=CD+CM + MC +DB
= CD+CM+MC, + DB =(CD+DB)+(CM+MC)
= BC +CC, = 2BC Tương tự CD+MC+ MD = AD+ DD = 2AD
Từ (1) và (2) suy ra 2BC= 2AD hay BC = AD.
43. a) Góc AOD là góc ngoài tại đỉnh O của tam giác cân BOD nến AOD = 2DBO hay B = LAOD.
Tương tự C-AOE. Suy ra B+ĉ= (AOD +AO’E).
Do CD và OE cùng vuông góc với DE nên OD//OE, suy ra AOD + AOʻE = 180o. Từ đó B+C = 90°.
b) Tứ giác ADME là hình chữ nhật vì D = M = E =90°.
Gọi I là giao điểm hai đường chéo DE và MA, ta có IA = ID. AIDO = AIAO (C.C.c), suy ra 1AO = IDO = 90° hay MA I BC.
Vậy MA là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (O) và (O’).
c) Tam giác AB vuông ở A, có AE 1 MC, nên : MA’ = ME.MC suy ra MD.MB = ME.MC.
44. a) Dựng đường tròn (O)
– Dụng đường trung trực của cạnh AB.
– Qua B dựng đường thẳng vuông góc với BC cắt đường trung trực của AB ở 0.
– Dựng đường tròn tâm O, bán kính OA. Tương tự, ta dựng được đường tròn (O,) thoả mãn đề bài.
b) Các tam giác OAB và 0,AC là các tam giác cân, ta có :
0 AB=0,BA và 0,AC = 0,CA
Ta lại có 0,BA + ABC = 90° và 0,CA + ACB = 90°.
Mà ABC + ACB= 90° nên O BA +0,CA = 90.
Suy ra 0,AB+0,AC = 90°. Do đó OAB+ BAC+CAO, =180°.
Ba điểm O, A, 0, thẳng hàng và 00, =0,A+AO,, vì thế hai đường tròn (O) và (0,) tiếp xúc ngoài tại A.
c) AM là trung tuyến thuộc cạnh huyền của tam giác vuông ABC nên MA = MB. AMAO = AMBO (c.c.c), suy ra MAO = MBO = 90°, do đó MA 100, ở A. Vậy AM là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (0) và (0,) tại A.