I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
| • Tiếp tuyến của đường tròn là đường thẳng chỉ có một điểm chung với đường tròn đó.
• Nếu một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn thì nó vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm. • Nếu một đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính tối qua điểm đó thì đường thẳng ấy là một tiếp tuyến của đường tròn. |
Nguồn website giaibai5s.com
Ví dụ 5 : Cho đường tròn tâm O bán kính 3cm và một điểm A có OA = 5cm.
a) Dùng thước và com-pa, hãy dựng các điểm B và C thuộc đường tròn (0) sao cho AB và AC là tiếp tuyến của đường tròn (O);
b) Tính độ dài AB, AC.
Giải:
a) Cách dựng :
– Dựng điểm I là trung điểm của đoạn OA.
– Dựng đường tròn (1 ; IO), đường tròn (I) cắt đường tròn (O) ở B và C.
– Kẻ các đoạn thẳng AB, AC thì AB và AC chính là các tiếp tuyến của đường tròn (O).
Chứng minh :
Tam giác AOB có trung tuyến Bị bằng LOA nên ABC vuông tại B, suy ra 2 AB 10B tại B, do đó AB là tiếp tuyến của đường tròn (O).
b) Tam giác AOB vuông ở B, theo định lí Py-ta-go, ta có:
AB =0A2-OB =52 -3′ =16, suy ra AB = 4 (cm) Tương tự, AC = 4cm.
II. BÀI TẬP
21. Cho đường tròn (0 ; 6cm) và điểm A trên đường tròn. Qua A kẻ tiếp tuyến Ax, trên đó lấy điểm B sao cho AB= 8cm.
a) Tính OB;
b) Qua A kẻ đường vuông góc với OB, cắt đường tròn (O) ở C. Chứng minh BC là tiếp tuyến của đường tròn (O).
22. Cho đường tròn (O) và điểm B trên đường tròn. Qua B kẻ tiếp tuyến với đường tròn, trên đó lấy điểm A. Trên AC lấy điểm C sao cho AC = AB, tia BC cắt đường tròn (O) ở E. Chứng minh OE vuông góc với OA.
23. Cho đường tròn (O; 5cm), đường kính AB, tiếp tuyến Bx. Gọi C là một điểm trên đường tròn sao cho BAC = 30°, tia AC cắt Bx ở E.
a) Chứng minh BC = AC.CE ;
b) Tính độ dài BE. 24. Cho góc nhọn xOy, điểm A thuộc tia Ox. Đựng đường tròn tâm I tiếp xúc với Ox ở A và có tâm I nằm trên Oy.
25. Cho đường tròn (O; R), đường kính AB. M là một điểm nằm giữa 0 và B. Đường thẳng kẻ qua trung điểm R của AM vuông góc với AB cắt đường tròn (O) ở C và D.
a) Tứ giác ACMD là hình gì ? Vì sao ?
b) Kẻ tiếp tuyến với đường tròn tại C, tiếp tuyến này cắt tia OA ở I. Chứng minh ID là tiếp tuyến của đường tròn (O).
III. HƯỚNG DẪN GIẢI – ĐÁP SỐ
:
21. a) AB là tiếp tuyến của đường tròn tại A
nên ABI AO.. Tam giác AOB vuông ở A :
OBP = 0A? + ABP = 62 +82 = 100, suy ra OB=10 (cm). b) OB là đường cao của tam giác cân AOC nên là phân giác của góc AOC, do đó O =Ô.. AAOB=ACOB (c.g.c) nên OCB= AB = 90°, suy ra BC 10C tại C. Vậy BC là tiếp tuyến của
đường tròn (O). 22. Tam giác ABC cân ở A, ta có BH =C, mà C =C2 (hai góc đối đỉnh), do đó Ŝi = Ĉ2.
(1) Tam giác OBE cân ở 0, ta có
B2 = Ê.
ô. Ê (2) BA là tiếp tuyến của đường tròn (O) ở B nên BA IOB tại B hay OBA = 90°. Ta có BJ + B =90° (3)
Từ (1, (2) và (3) ta có CM +E = 90°, suy ra EOC = 90°. Vậy OE LOA.
23. a) Tam giác ACB có trung
Hình 77
nên ACB=90° hay BCI AE. BE là tiếp tuyến của đường tròn (O) nên ABE = 90°
Sử dụng hệ thức lượng với tam giác vuông ABE, ta có :
BC^ = ACCE.
b) Tam giác ACB vuông ở C, có A = 30° nên BC=AB= 5cm.
CHE = A = 30° (vì cùng phụ với góc ABC).
ABCE vuông ở C có CBE = 30° nên CE = BE hay BE = 2CE. BE = BC +CE? suy ra (2CE) – CE = 25 hay 3CE = 25, do đó CE = % nên BE =
oc_10_1013
= (cm).
Α
24. Xem hình 78.
Cách dựng :
– Qua A dựng đường thẳng vuông góc với Ox, cắt tia Oy ở I.
– Dựng đường tròn (I, IA). Học sinh tự chứng minh.
25. a) Tứ giác ACMD là hình thoi vì có hai đường chéo vuông góc với nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.
b) 01 là đường trung trực của tam giác cân COD nên COI = DOI. AOCI = AODI (cgc), suy ra
Vậy ID là tiếp tuyến của đường tròn (O).
a) Dùng thước và com-pa, hãy dựng các điểm B và C thuộc đường tròn (0) sao cho AB và AC là tiếp tuyến của đường tròn (O);
b) Tính độ dài AB, AC.
Giải:
a) Cách dựng :
– Dựng điểm I là trung điểm của đoạn OA.
– Dựng đường tròn (1 ; IO), đường tròn (I) cắt đường tròn (O) ở B và C.
– Kẻ các đoạn thẳng AB, AC thì AB và AC chính là các tiếp tuyến của đường tròn (O).
Chứng minh :
Tam giác AOB có trung tuyến Bị bằng LOA nên ABC vuông tại B, suy ra 2 AB 10B tại B, do đó AB là tiếp tuyến của đường tròn (O).
b) Tam giác AOB vuông ở B, theo định lí Py-ta-go, ta có:
AB =0A2-OB =52 -3′ =16, suy ra AB = 4 (cm) Tương tự, AC = 4cm.
II. BÀI TẬP
21. Cho đường tròn (0 ; 6cm) và điểm A trên đường tròn. Qua A kẻ tiếp tuyến Ax, trên đó lấy điểm B sao cho AB= 8cm.
a) Tính OB;
b) Qua A kẻ đường vuông góc với OB, cắt đường tròn (O) ở C. Chứng minh BC là tiếp tuyến của đường tròn (O).
22. Cho đường tròn (O) và điểm B trên đường tròn. Qua B kẻ tiếp tuyến với đường tròn, trên đó lấy điểm A. Trên AC lấy điểm C sao cho AC = AB, tia BC cắt đường tròn (O) ở E. Chứng minh OE vuông góc với OA.
23. Cho đường tròn (O; 5cm), đường kính AB, tiếp tuyến Bx. Gọi C là một điểm trên đường tròn sao cho BAC = 30°, tia AC cắt Bx ở E.
a) Chứng minh BC = AC.CE ;
b) Tính độ dài BE. 24. Cho góc nhọn xOy, điểm A thuộc tia Ox. Đựng đường tròn tâm I tiếp xúc với Ox ở A và có tâm I nằm trên Oy.
25. Cho đường tròn (O; R), đường kính AB. M là một điểm nằm giữa 0 và B. Đường thẳng kẻ qua trung điểm R của AM vuông góc với AB cắt đường tròn (O) ở C và D.
a) Tứ giác ACMD là hình gì ? Vì sao ?
b) Kẻ tiếp tuyến với đường tròn tại C, tiếp tuyến này cắt tia OA ở I. Chứng minh ID là tiếp tuyến của đường tròn (O).
III. HƯỚNG DẪN GIẢI – ĐÁP SỐ
:
21. a) AB là tiếp tuyến của đường tròn tại A
nên ABI AO.. Tam giác AOB vuông ở A :
OBP = 0A? + ABP = 62 +82 = 100, suy ra OB=10 (cm). b) OB là đường cao của tam giác cân AOC nên là phân giác của góc AOC, do đó O =Ô.. AAOB=ACOB (c.g.c) nên OCB= AB = 90°, suy ra BC 10C tại C. Vậy BC là tiếp tuyến của
đường tròn (O). 22. Tam giác ABC cân ở A, ta có BH =C, mà C =C2 (hai góc đối đỉnh), do đó Ŝi = Ĉ2.
(1) Tam giác OBE cân ở 0, ta có
B2 = Ê.
ô. Ê (2) BA là tiếp tuyến của đường tròn (O) ở B nên BA IOB tại B hay OBA = 90°. Ta có BJ + B =90° (3)
Từ (1, (2) và (3) ta có CM +E = 90°, suy ra EOC = 90°. Vậy OE LOA.
23. a) Tam giác ACB có trung
Hình 77
nên ACB=90° hay BCI AE. BE là tiếp tuyến của đường tròn (O) nên ABE = 90°
Sử dụng hệ thức lượng với tam giác vuông ABE, ta có :
BC^ = ACCE.
b) Tam giác ACB vuông ở C, có A = 30° nên BC=AB= 5cm.
CHE = A = 30° (vì cùng phụ với góc ABC).
ABCE vuông ở C có CBE = 30° nên CE = BE hay BE = 2CE. BE = BC +CE? suy ra (2CE) – CE = 25 hay 3CE = 25, do đó CE = % nên BE =
oc_10_1013
= (cm).
Α
24. Xem hình 78.
Cách dựng :
– Qua A dựng đường thẳng vuông góc với Ox, cắt tia Oy ở I.
– Dựng đường tròn (I, IA). Học sinh tự chứng minh.
25. a) Tứ giác ACMD là hình thoi vì có hai đường chéo vuông góc với nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.
b) 01 là đường trung trực của tam giác cân COD nên COI = DOI. AOCI = AODI (cgc), suy ra
Vậy ID là tiếp tuyến của đường tròn (O).