Ví dụ 5 : Bằng cách đặt ẩn số phụ, giải hệ phương trình :
x-1+y=1 =10
1 + 3 =-18
X-1
y-1
Giải: Điều kiện để hệ phương trình xác định là : x-14 0 và y-140 hay x + 1 và y + 1.
X
-5u+v=10 Đặt = u ; $ = 9, ta có hệ phương trình : . X-1 y-1
(u +3v = -18 Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế : Từ phương trình –5u+y=10, ta có : v=5u+10. Thế vào phương trình u+3v=-18, ta được :
u+3(5u+10) =-18u +15u +30 =-18
16u = -48 u=-3. Thay u =-3 vào biểu thức v=5u+10, được : y = 5(-3)+10=-5.
Vậy ta có hệ phương trình :
–
=-3
Ju=-3
N|c
x-1
-3x = -2
=- 5
1-5y=-4
(y-1
| 0
1 2
4 )
Trả lời : Nghiệm của hệ phương trình đã cho là : (x;y)==
Chú ý: Ngoài cách giải trên, ta có thể giải hệ phương trình đã cho như sau :
t
= 10
y-1
| -5 1
+- -10 X-1 y-1 5 15
-+- — = -90 x-1 y-1
=-18
-+- X-1 V-1
Cộng theo từng vế hai phương trình của hệ, ta được :
16
10=-80
-80(y-1)=16
-5(y-1) = 1
y-1
+-53+5=14-5y=-4=y=
1
Thay y => vào phương trình
-5
– X-1
+
= 10, ta được :
y – 1
-5
= 100-
-5 = 10
—
=15
X-1
X-1
X-1
15(x – 1) = -5
3x = 2
X=
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm: x ==
mx +2y =1
Ví dụ 6: Cho hệ phương trình
mx + my = m-1
Giải hệ phương trình khi :
a) m = 3;
b) m = 2;
c) m = 0.
Giải:
s3x +2y=1 a) Khi m = 3 , ta có hệ phương trình : {.
(3x + 3y = 2 Trừ theo từng vế hai phương trình của hệ, ta được: -y=-ley=1. Thay y = 1 vào phương trình 3x + 2y =1, có :
3x + 2.1=1 # 3x=-1
X=–
Trả lời : Khi m = 3, hệ phương trình đã cho có nghiệm:
(X;y)=(-5,1).
2x + 2y = 1 b) Khi m = 2, ta có hệ phương trình :
12x +2y = 1 Hệ phương trình có vô số nghiệm. Công thức nghiệm tổng quát của hệ phương trình là : XER
1-2y R 1–2 hoặc 3 2 2
lyER
(Ox +2y=1 c) Khi m = 0, ta có hệ phương trình :
10x +Oy=-1 Phương trình thứ nhất của hệ có vô số nghiệm, còn phương trình thứ hai của hệ vô nghiệm, nên hệ vô nghiệm. Vậy khi m = 0, hệ phương trình đã cho vô nghiệm.
X
—
II. BÀI TẬP
18. a) Į3x-y=5
Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thế :
(3x +5y = 1 5x +2y = 28
(-y=-8 (2x – 3y=-1
x-2y = 1 (x+y=8
” |2x – y =4
= x+y=1
2 (3x + 2y = 10
so wie
19. a
X +8
9
(y +4
4
v
X+Y
-0.1
x+y=140
2
5
y XY=0.1
X-
_
=
y+-.
2
5 Bằng phương pháp thế, giải các hệ phương trình sau rồi tinh nghiệm gần đúng chính xác đến hai chữ số thập phân. x-v3y = 0
V2x-V5y=1 20. a) ” | 13x+2y=1+13 [x+V5y = V2 V2x+V5y = 2
fx-2V2y = 13 lx+V5y=2 “l12x+y=1-16 21. a) {(13–1)x=y=v3 113-V5)x – 3y = 3+ V5 ‘(x+(13+1)y=1
4x + y = 4-2V5 SV7x-y=V7(75–1)
114/5x+2/7y= 28 22. Giai các hệ phương trình sau : 14x – 3y + 5(x – y)=1
b) {
13(x – 7)-6(x — y+l)y = 0 – 4(2y-1)=1
14(x – 1)+ 2(x – 2y + 7) = 0
+
=0
X-y X – 3y – 2 4
(-1)(y-2)+(x + 1)(y-3) = 4 3x – 5y + 1
“l(x-3)(y +1)–(x – 3)(y-5) = 18 -1=0 1 2 23.
Xác định giá trị của a và b để hệ phương trình :
h. S3x + by=7
| ax+by = 5
a) Có nghiệm (-1;3) ;
b) Có nghiệm (2 ; 3). 24. Giai các hệ phương trình sau bằng phương pháp đặt ẩn phụ :
18 + 15 = 1 X-1 y+2
1.11 4y 12
(x-1 y +2 12 [ 4 1
( 5 2
– =8 x+2y x-2y
X+ y-3 X-y+1 20 3
=1,5 X+2y X-2y
(x+y-2’x-y+1) 25. Biết rằng : Một đa thức P(x) chia hết cho (x -a) khi và chỉ khi P(a)= 0. Hãy tìm giá trị của m, n sao cho đa thức :
P(x)= mx’ +(m+1)x2 – (4n+3)x +5n. Đồng thời chia hết cho (x-1) và (x +2).
c) {
-tm
=1
–
+
III. HƯỚNG DẪN GIẢI – ĐÁP SỐ
18. a) Đáp số :
;y)=13
—
c) Đáp số 🙁
d) Đá
y) =
2
w
b) Đáp số : (x;y)=(-3;2) c) Đáp số : (x;y)=(-2;-3) d) Đáp số : (x;y)=(13) 19. a) *x+y=1 /v=ickx
“]3x+2y=10 ” 3x +2{1} * -10 * {3x-x=8
y
=
–
–
X
b) Điều kiện y+4+0y4 X_Y
S3x = 2y
4(x+8)= 9(y+4)
oo wie
S3x = 2y 14x-9y = 4
9 4
(y +4
Đáp số : (x;y)= 8-3
x+y =0,1
2
5
(57-21
15y-2(x + y)=1 -2x + 3y=1 y X-Y-0
, 2y-5(x – y)=1 7-5x + 7y= 1 15 2 Đáp số : (x; y)=(4 ;3) x + y = 140
x+y=140 x+y=140 18x – x =8y +
x 16x=8y Đáp số : (x;y)=(80;60). 20. a) x-v3y=0 fx=v3y fx= Vzy
* | 13x +2y=1+13 (13.13y+2y = 1+ v3 (sy=l+V3
fx=V3y
(x= 3+V3
*
1 + V3 4-1443
Nghiệm gần đúng của hệ phương trình là : x = 3,47 ; y = 0, 55.
V2x-V5y=1 V2(V2 – V5y=1 15(12+1)y=1 olx+v5y = 2 *x=v2 – V5yx = 12 – V5y 1 1 V5172-1) V5(V2 -1)
75672 +1) 5(12+1)(12-1) 5
x= V2 – V5.15(J2 – 1),
Nghiệm gần đúng của hệ phương trình là : x =1; y = 0,18.
JV2x + V5y =2 JV212 – V5y)+ 5y = 2 ” 1x+V5y= 2 1x=2-vsy
2012-1) 215 SV5672 – 1)y=2(V2 – 1) J 75012-1) 5. ‘(x=2-V5y
[x =2-15,205 –
Nghiệm gần đúng của hệ phương trình là : x=0 ; y = 0, 90.
x-212y = 13 1x = 13 –272y “V2x+y=1-16 | 12(13–2/2y)+y=1-16
[x = V3 –2V2y
x=v3_2/2(276-1)
(3y=276-1
v 216-1 [x = 212-513
3
o
•
X
3 Nghiệm gần đúng của hệ phương trình là : x=-1,9 ; y=1
(V3 – 1)x=y=v3 [y=(73 – 1)x-v3 (x+(+3+1)y=1 [x+(23 +1)x[(V3 – 1)x – v3] = 1
21. a)
{y=(13–1X-V3y=(13–1). (4+V3)_ V3
3
3x = 4+13
4+
3
x =4+13
X
3
[y_443-443-v35-395 __
X
(4x+y=4-215
Nghiệm gần đúng của hệ phương trình là : x = 1,91 ; y = -0,33 (3-V5)x – 3y = 3+575 (3-V5)x-3(4–275 4x) = 3+515
ly=4-275–4x ((15-V5)x = 15-V5 (x=1
ly=4–275 – 4x ly=-215 Nghiệm gần đúng của hệ phương trình là : x =1; y = -4,47
JV7x-y=17(55-1) 114/5x+27y= 28 fy=V7x-17 (15-1) =V7x-v35+15
14/5x+287(17x– 135 + V7)= 28 Sy=V7x-v35+17 fx=1
(14( 5 +1)x = 14( 15 + 1) ly=-V35 Nghiệm gần đúng của hệ phương trình là : x=1; y=-5,92 22. a)
[4x – 3y + 5(x – y)=1 54x – 3y + 5x – 5y = 1 “? |2x – 4(2y-1)=1 *72x–8y+4 = 1
19x -8y=1
-8y=-3 Đáp số : (x+y)= 1 )
3(x-7)-6(x-y+1) = 0 3x – 21- 6x +6y-6= 0 °14(x-1)+ 2(x – 2y +7)=0 4x – 4+2x – 4y +14 = 0
(-3x + 6y = 27
16x – 4y =-10 Đáp số : (x;y)=(2;5,5)
X-3y
X – Y – 2
4
C)
12(x+y)+(x – 3y)=0 3x – 5y =0) – 5y +1_1-0 (3x – 5y +1-2=0 13x – 5y=1 1 2 Vậy phương trình vô nghiệm.
[(x-1)(y-2)+(x+1)(y-3) = 4 (2xy-5x = 5 us ((x – 3)(y+1)-(x – 3)(y–5)=18 (6x–18 = 18
(2xy – 5x = 5 fx=6 x = 6 6x = 36 12y-30 = 5
23. a) x =-1, y = 3 là nghiệm của hệ phương trình, ta có:
1-3+3b = 7 1-a + 3b = 5
Giải hệ phương trình này được : a = 5 ; b=3 b) x = 2 , y= 3 là nghiệm của hệ phương trình, ta có :
: (372 + V3b = 7
TVZa + V3b = 5 Giải hệ phương trình này được :
a = 3-V2 ; b = 7/3-376
3 24. a) Điều kiện xác định của hệ phương trình : x + 0, y+ 0.
–
11 +
y
— 10
Đặt -= u ;
= 9, ta có :{
-ut-V=– 14 4 12
Giải hệ phương trình này được : u =
x = 36
Suy ra: JX 36
Suy ra:11 1 C1y=12
ly 12 b) Điều kiện xác định của hệ phương trình: x +1, y4–2.
(8u+15v = 1 Đặt ^ = 1 ; – v, ta có : X-1
y +2
u
+V
=
Giải hệ phương trình này được :
x-1
Suy ra :
28 fx-1= 28 x = 29 -1″\y+12 = 21″\y=19
y+2
c) Điều kiện xác định của hệ phương trình : x ++2y.
(4u-v=1 Đặt >= u ; – –>= y, ta có: X + 2y X-2y
1-3v=1
Giải hệ phương trình này được u=;v=
1 _1
x+2y 8 Suy ra :3
1 (x – 2y
(x + 2y = 8 (x = 3 4-x+2y = 2 * \y = 2,5
d) Điều kiện xác định của hệ phương trình : x+y+ 3, x – y +-1.
(5u – 2v = 8
-= , ta có : 3 X + Y-3 X-y +1
|3u+y=1,5
Đặt –
1
-=u: LT
Giải hệ phương trình này được : u=1 ; v
x
x+y-3
Suy ra :3
_ 3
2
x+y-3=1 3(x-y+1)=-2
(x-y+1
25. Ta có : P(1) = m +(m+1)-(4n+3) +
n = 0
Hay
2m+n=2
P(-2)=-8m +4(m +1)+2(4n+3)+5n = ()
Hay
-4m +13n =-10
Từ (1) và (2), ta được :
12m+n=2 1-4m +13n = -10
1
Giải hệ phương trình này được : m=
=
2
.
Trả lời : Với m == và
-= thì đa thức P(x) đồng thời chia hết cho
5
(x-1) và (x+2).