I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
| • Tâm của đường tròn là tâm đối xứng của đường tròn đó. • Bất kì đường kính nào cũng là đối xứng của đường tròn. • Đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy. • Đường kính đi qua trung điểm của một dây (dây không là đường kính) thì vuông góc với dây ấy. • Trong một đường tròn : – Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm. – Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau. – Dây lớn hơn thì gần tâm hơn. – Dây gần tâm hơn thì lớn hơn. |
Nguồn website giaibai5s.com
Ví dụ 3: Cho đường tròn tâm O, hai dây AB và CD vuông góc với nhau ở M. Biết AB =18cm, CD=14cm, MA = 3cm, MC = 4cm. a) Tính khoảng cách từ 0 đến mỗi dây ; b) Tính bán kính đường tròn (O).
Giải: a) Kẻ OHLCD, OKL AB, ta có :
HC = HD-CD= .14 = 7 (cm),
AMK
KA = KB==
18=9 (cm), 2 2
Hình 61
MH = HC – MC = 7–4=3 (cm), MK = KA-MA = 9-3 = 6 (cm).
Tứ giác OHMK là hình chữ nhật vì có ba góc vuông (M = H = K = 90°) nên OH = MK = 6cm, OK = MH=3cm.
Vậy khoảng cách từ 0 đến các dây AB và CD lần lượt là 3cm và 5cm.
b) Tam giác AOK vuông ở K, theo định lí Py-ta-go, ta có :
OA? = AK? +OK? = 92 +32 = 81+9=90, Suy ra OA = 90 =3/10 (cm). Vậy bán kính đường tròn (O) bằng 3/10 cm.
II. BÀI TẬP
8. Cho đường tròn tâm O bán kính 3cm, hai dây cung AB và AC. Biết AB= 5cm, AC = 2cm. Tính khoảng cách từ () đến mỗi dây.
9. Cho đường tròn tâm O đường kính AB, hai dây cung AC và BD song song với nhau. Chứng minh :
a) AC = BD ;
b) Ba điểm C, O, D thẳng hàng. 10. Cho đường tròn tâm O bán kính R, hai dây cung AB và CD. Các tia BA và DC cắt nhau tại điểm M nằm bên ngoài đường tròn.
a) Biết AB=CD, chứng minh MA = MC ;
b) Trường hợp AB > CD, hãy so sánh khoảng cách từ điểm M đến trung điểm của các dây AB, CD.
11. Cho đường tròn (O) và điểm M nằm bên trong đường tròn. Qua M vẽ dây cung AB vuông góc với OM và dây cung CD không vuông góc với OM. So sánh độ dài hai dây cung AB và CD. 12. Cho đường tròn (O; R) và điểm M nằm bên trong đường tròn (điểm M
khác điểm O).
a) Hãy nêu cách dựng dây AB nhận điểm M làm trung điểm ;
b) Tính độ dài dây ở câu a, biết R = 2,5cm ; OM =1,5cm.
13. Cho đường tròn tâm O, đường kính AB, dây cung CD cắt AB tại M. Biết MC = 4cm, MB=12cm và BMD=30°.
a) Tính khoảng cách từ 0 đến CD;
b) Tính bán kính đường tròn (O). 1
4. Cho đường tròn (O; R), đường kính AB. Dây cung CD vuông góc với OA tại điểm M là trung điểm của OA.
a) Tứ giác ACOD là hình gì ? Vì sao ?
b) Tam giác BCD là tam giác gì ? Vì sao ?
III. HƯỚNG DẪN GIẢI – ĐÁP SỐ
8. Kẻ OH I AB, ta có HA = AB=2,5 (cm).
Tam giác AOH vuông ở H, nên : OHP=OAP – AH2 = 32 – 2,52 – 31
suy ra OH- vật (em).
Kẻ OK LCK, ta có KA = AC =1 (cm).
Akrot
B.
Tam giác AOK vuông ở K, nên : OK? =0A? – AK = 3 – 1 = 8, suy ra OK = 2/2 (cm)
a) Qua O kẻ OE LAC, OFI BD, ta có: AE = AC và BF=BD. AAOE = ABOF (cạnh huyền – góc nhọn), suy ra AE = BF. Từ đó ta có AC = BD.
Hình 63
b) OE, OF theo thứ tự là đường cao của các tam giác cân AOC và BOD nến OE, OF lần lượt là phân giác của góc AOC và BOD do đó AOE =COE và BOF= DOF. Mà AOE = BOF nên AOC = BOD, suy ra
COA+DOA = DOA+DOB = AOB = 180o. Vậy ba điểm C, O, D thẳng hàng.
10. a) Hạ OH I AB, OK LCD thì HA =
Nếu AB =CD thì HA = CK và OH = OK. AMOH = AMOK (cạnh huyền – cạnh góc vuông) do đó MH = MK suy ra MH – AH = MK-CK
1
С
Hình 64
hay MA = MC. b) Vận dụng định lí Py-ta-go vào các tam giác vuông MOH và MOK ta lần lượt có :
OH + HM2 = OMP; OK? + KMP = OM? Suy ra OH? +HM = OK? + KM (1) Nếu AB > CD thì OH < OK nên OH <0K”. Khi đó từ (1) ta có : HM? > KM’, suy ra HM > KM.
39
11. Xét hai trường hợp :
a) Trường hợp 1: Điểm M khác điểm 0 (1.65). Ke OII CD. Trong tam giác vuông OIM thì OI < OM, do đó AB < CD. b) Trường hợp 2: Điểm M trùng với điểm 0 thì AB=CD vì chúng đều là đường kính của
đường tròn (O). 12. a) Cách dựng :
– Dựng đoạn thăng OM ; – Qua M dựng đường thẳng vuông góc với OM cắt đường tròn (O) ở A và B thì M chính là trung điểm của AB. b) Tam giác AOM vuông ở M:
MB AM? =OA? -OM= 2,52 – 1,52 = 4,
suy ra AM = 2 (cm), do đó AB= 2AM = 4cm. 13. a) MC = 4cm, MD=12cm , suy ra CD=16cm.
Kẻ OH ICD thì CH = CD = 8cm, Do đó MH =CH-CM =8-4 = 4 (cm). Tam giác vuông MOH có OMH = 30°, nên OH = OM hay OM = 2OH. 2
Hình 67 Theo định lí Py-ta-go, ta có : MH = OM-OH = 4OH-OH = 3OH, do đó 3OH = 16,
Hình 66
2
suy ra OH = 4 43 ,
133 (cm).
b) Cũng theo định lí Py-ta-go, trong tam giác vuông OHC, ta có : OC2 =CH-OH = 64 116 =208, suy ra OC 45° (cm).
3
, SU
3
14. a) ABICD tại M nên MC = MD. Lại có MA = MO, do đó tứ giác
ACOD là hình thoi vi có hai đường chéo vuông góc với nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường. b) Tam giác ACB vuông ở C vì có trung tuyến CO= AB.
Do AC=C0= AB vì thế trong tam giác vuông ACB ta có ABC = 30°. AB là trục đối xứng của đường tròn (O) nên ? BC = BD và ABC = ABD= 30°, do đó CBD = 60°. Tam giác BCD là tam giác cân lại có một góc bằng 60° nên là tam giác đều.
Giải: a) Kẻ OHLCD, OKL AB, ta có :
HC = HD-CD= .14 = 7 (cm),
AMK
KA = KB==
18=9 (cm), 2 2
Hình 61
MH = HC – MC = 7–4=3 (cm), MK = KA-MA = 9-3 = 6 (cm).
Tứ giác OHMK là hình chữ nhật vì có ba góc vuông (M = H = K = 90°) nên OH = MK = 6cm, OK = MH=3cm.
Vậy khoảng cách từ 0 đến các dây AB và CD lần lượt là 3cm và 5cm.
b) Tam giác AOK vuông ở K, theo định lí Py-ta-go, ta có :
OA? = AK? +OK? = 92 +32 = 81+9=90, Suy ra OA = 90 =3/10 (cm). Vậy bán kính đường tròn (O) bằng 3/10 cm.
II. BÀI TẬP
8. Cho đường tròn tâm O bán kính 3cm, hai dây cung AB và AC. Biết AB= 5cm, AC = 2cm. Tính khoảng cách từ () đến mỗi dây.
9. Cho đường tròn tâm O đường kính AB, hai dây cung AC và BD song song với nhau. Chứng minh :
a) AC = BD ;
b) Ba điểm C, O, D thẳng hàng. 10. Cho đường tròn tâm O bán kính R, hai dây cung AB và CD. Các tia BA và DC cắt nhau tại điểm M nằm bên ngoài đường tròn.
a) Biết AB=CD, chứng minh MA = MC ;
b) Trường hợp AB > CD, hãy so sánh khoảng cách từ điểm M đến trung điểm của các dây AB, CD.
11. Cho đường tròn (O) và điểm M nằm bên trong đường tròn. Qua M vẽ dây cung AB vuông góc với OM và dây cung CD không vuông góc với OM. So sánh độ dài hai dây cung AB và CD. 12. Cho đường tròn (O; R) và điểm M nằm bên trong đường tròn (điểm M
khác điểm O).
a) Hãy nêu cách dựng dây AB nhận điểm M làm trung điểm ;
b) Tính độ dài dây ở câu a, biết R = 2,5cm ; OM =1,5cm.
13. Cho đường tròn tâm O, đường kính AB, dây cung CD cắt AB tại M. Biết MC = 4cm, MB=12cm và BMD=30°.
a) Tính khoảng cách từ 0 đến CD;
b) Tính bán kính đường tròn (O). 1
4. Cho đường tròn (O; R), đường kính AB. Dây cung CD vuông góc với OA tại điểm M là trung điểm của OA.
a) Tứ giác ACOD là hình gì ? Vì sao ?
b) Tam giác BCD là tam giác gì ? Vì sao ?
III. HƯỚNG DẪN GIẢI – ĐÁP SỐ
8. Kẻ OH I AB, ta có HA = AB=2,5 (cm).
Tam giác AOH vuông ở H, nên : OHP=OAP – AH2 = 32 – 2,52 – 31
suy ra OH- vật (em).
Kẻ OK LCK, ta có KA = AC =1 (cm).
Akrot
B.
Tam giác AOK vuông ở K, nên : OK? =0A? – AK = 3 – 1 = 8, suy ra OK = 2/2 (cm)
a) Qua O kẻ OE LAC, OFI BD, ta có: AE = AC và BF=BD. AAOE = ABOF (cạnh huyền – góc nhọn), suy ra AE = BF. Từ đó ta có AC = BD.
Hình 63
b) OE, OF theo thứ tự là đường cao của các tam giác cân AOC và BOD nến OE, OF lần lượt là phân giác của góc AOC và BOD do đó AOE =COE và BOF= DOF. Mà AOE = BOF nên AOC = BOD, suy ra
COA+DOA = DOA+DOB = AOB = 180o. Vậy ba điểm C, O, D thẳng hàng.
10. a) Hạ OH I AB, OK LCD thì HA =
Nếu AB =CD thì HA = CK và OH = OK. AMOH = AMOK (cạnh huyền – cạnh góc vuông) do đó MH = MK suy ra MH – AH = MK-CK
1
С
Hình 64
hay MA = MC. b) Vận dụng định lí Py-ta-go vào các tam giác vuông MOH và MOK ta lần lượt có :
OH + HM2 = OMP; OK? + KMP = OM? Suy ra OH? +HM = OK? + KM (1) Nếu AB > CD thì OH < OK nên OH <0K”. Khi đó từ (1) ta có : HM? > KM’, suy ra HM > KM.
39
11. Xét hai trường hợp :
a) Trường hợp 1: Điểm M khác điểm 0 (1.65). Ke OII CD. Trong tam giác vuông OIM thì OI < OM, do đó AB < CD. b) Trường hợp 2: Điểm M trùng với điểm 0 thì AB=CD vì chúng đều là đường kính của
đường tròn (O). 12. a) Cách dựng :
– Dựng đoạn thăng OM ; – Qua M dựng đường thẳng vuông góc với OM cắt đường tròn (O) ở A và B thì M chính là trung điểm của AB. b) Tam giác AOM vuông ở M:
MB AM? =OA? -OM= 2,52 – 1,52 = 4,
suy ra AM = 2 (cm), do đó AB= 2AM = 4cm. 13. a) MC = 4cm, MD=12cm , suy ra CD=16cm.
Kẻ OH ICD thì CH = CD = 8cm, Do đó MH =CH-CM =8-4 = 4 (cm). Tam giác vuông MOH có OMH = 30°, nên OH = OM hay OM = 2OH. 2
Hình 67 Theo định lí Py-ta-go, ta có : MH = OM-OH = 4OH-OH = 3OH, do đó 3OH = 16,
Hình 66
2
suy ra OH = 4 43 ,
133 (cm).
b) Cũng theo định lí Py-ta-go, trong tam giác vuông OHC, ta có : OC2 =CH-OH = 64 116 =208, suy ra OC 45° (cm).
3
, SU
3
14. a) ABICD tại M nên MC = MD. Lại có MA = MO, do đó tứ giác
ACOD là hình thoi vi có hai đường chéo vuông góc với nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường. b) Tam giác ACB vuông ở C vì có trung tuyến CO= AB.
Do AC=C0= AB vì thế trong tam giác vuông ACB ta có ABC = 30°. AB là trục đối xứng của đường tròn (O) nên ? BC = BD và ABC = ABD= 30°, do đó CBD = 60°. Tam giác BCD là tam giác cân lại có một góc bằng 60° nên là tam giác đều.