Ví dụ 2: Cho tam giác vuông ABC vuông ở A, AB = 30cm. Biết tgB = 8/15
a) Tính AC, BC ;
b) Tính sinB, cosB, cotgB.
Phân tích :
Trong tam giác vuông ABC vuông ở A, biết tg, nên biết tỉ số giữa hai cạnh AC và AB. Lại biết AB=30cm nên tính được AB, từ đó sử dụng định lí Py-ta-go để tính BC.
Biết độ dài các cạnh của tam giác vuông ABC, ta tìm được sinB, cosB, cotgB.
Giải: a) Trong tam giác vuông ABC, ta có:
° mà AB= 30cm, AB 15
tgB = AC8
nên AC 8
30
15 suy ra
30 Hình 17
В
8.30 ACE = 16 (cm).
15
Theo định lý Pi-ta-go, ta lại có : BC = AB^ + AC^ = 30° +16′ =1156, suy ra BC = 34 cm.
b) Trong tam giác vuông ABC, theo định nghĩa tỉ số lượng giác của một góc nhọn, ta có :
AB 30 -= =0,4706;
-= =0,8824; BC 34
BC 34 AB 30 cotgB =— =— =1,875.
AC 16
1
sin B – AC
cosB=
II. BÀI TẬP
13. Cho tam giác ABC vuông ở A. Chứng minh :
AB / AC = cosB/cos C
14. Cho tam giác nhọn ABC, hai đường cao BD và CE. Hãy biểu thị cosA
bằng hai cách, từ đó chứng minh ADE ~ ABC.
15. Cho tam giác ABC vuông ở A, AB = 8cm, AC =15cm. Tính tỉ số
lượng giác của góc C, từ đó suy ra tỉ số lượng giác của góc B.
16. Cho tam giác ABC vuông ở A, AC =5cm. Biết cotgB=2, 4.
a) Tính AB, BC;
b) Tính tỉ số lượng giác của góc C.
17. Hãy biến đổi các tỉ số lượng giác sau đây thành tỉ số lượng giác của các góc nhỏ hơn 45°: sin 57° ; cos43°32 ; tg72°15 ; cotg 85°35.
18. Sử dụng định nghĩa các tỉ số lượng giác của một góc nhọn để chứng minh : Với góc nhọn 1 tuỳ ý, ta có :
cosa
cosa
a) sin a<1, cosa <l; sin a b) tga = , cotga = d., tga.cotga =1; c) sin? Q + cos2a=1. 19. Tìm sin a, cosx, biết: a) tga = ; b) cotga = 12 20. Cho sin a = . Tìm cosa, tga và cotga. 25 21. Dựng góc nhọn x, biết: a) sin a=0,5; b) cosa= 0,8; b) tga = 3; d) cotga = 2. III. HƯỚNG DẪN GIẢI – ĐÁP SỐ 13. Tam giác ABC vuông ở A, ta có : AB AC cosB = — ; cosC = BC BC B Hình 18 cosB AB AC_AB BC AB Vậy CO2 = * cosC BC BC BC AC A AC 14. Tam giác ABD vuông ở D, ta có : AD cosA== AB Tam giác ACE vuông ở E, ta có : AE COSA = = – (2) AC Từ (1) và (2) suy ra : AD_AE “ ABAC Vậy AADE VAAABC (c.g.c). 15. Tam giác ABC vuông ở A, ta có: BC2 = AB? + AC2 = 82 +152 = 289, suy ra BC =17 (cm). AB 8 sin C = -= = 0,4706 ; BC 17 AC 15 cosC= = =–~0,8824; BC 17 B AB 8 AC 15 tgC=- =-=0,5333; cotgC= = =1,875. AC 15 AB 8 Trong tam giác vuông ABC, góc B và góc C là hai góc phụ nhau, nên : sin B = cosC -0,8824 ; cosB = sinC -0,4706 ; tgB = cotgC = 1,875 ; cotgB = tgC == 0,5333. 16. a) Tam giác ABC vuông ở A, ta có : cotgB=AH = 2,4 mà AC =5 – AC nên P = 2,4 suy ra AB=12 cm. A Hình 21 Theo định lí Py-ta-go thì : BC2 = AB? + AC2 = 122 +52 = 169, suy ra BC = 13 cm. b) Ta có : AB 12 sin C = BC 13 – AC = = 0,931. COSC = – 4 +0,3847, 13 BC tgC-AC 5 AB_12 – 2,4, s AC cotgC= -=-=0,4167. AB 12 Chú ý: Có thể tính sinB, cosB, tgt rồi dựa vào điều kiện góc B và góc C là hai góc phụ nhau suy ra sinC, cosC, tgC, cotgC. 17. Sử dụng quan hệ giữa các tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau ta có : sin 57° = cos(90° – 57°) = cos33°, cos43° 32′ = sin(90° — 43°32′) = sin 46°28′. tg72°15′ = cot g(90° – 72°15′) = cot g17°45′, cot g85°35′ = tg(90° – 85°35′) = tg4°25′. 18. Xét tam giác vuông ABC vuông ở A có góc nhọn B= 0. a) Vì trong tam giác vuông, cạnh huyền lớn nhất : BC > AC, | BC > AB, nên :
sin a =sin B=
BC
cosa = cosB =
BC
AC AC AB sina b) tga = tgB=
AB BC BC cosa
AB AB AC cosa cotga = cotgB=- =AC BC BC sina
Hình 22 sin a cosa , tga.cotga =)
cosa sina c) sin’a + cos’a = sin’B+ cos2B
AC AB AC + ABP BC2 BC2 * BC2BC2BC2 –
P =1 (vì AB + AC^ = BC^).
19. a) Xét tam giác vuông ABC, có B= 0 và tgo = tgB= (h.23)
Ta có : tgo. = tgR = AC-3, suy ra
uy ra
Hinn 23
AC AB
== ==k, do đó AC = 3k, AB = 4k. 3 4 Theo định lí Py-ta-go, ta có : AB? + AC? = BC”, hay (3k)? +(4k)? = BC? hay 25k? = BC2 suy ra BC= 5k.
AC 3k Vậy sin x = = = == 0,6;
BC 5k 5
COSO
b) Xét tam giác vuông ABC vuông ở A, có B = 0. và cotgo = cotgB=
AB Ta có : cot gx = cot gB =
5
AB AC 12° suy ra →
do đó AB = 5k, AC = 12k. Theo định lí Py-ta-go, ta có : AB? + AC? = (5k)? +(12k)? = BC2 hay 169ko = BC, do đó BC = 13k. Vậy: sin B = AC = 0,3846;
BC 13 cosB = AB = 12 = 0,9231.
C
Hình 24
BC
13
20. Xét tam giác vuông ABC vuông ở A, có B= 0, và sin x = sin B=
Cách 1. Tính tương tự bài 19, ta được : AC =7k, AB=24k và BC = 25k.
AB 24 Vậy : cosx = cosB=
BC 25
AC 7 tga = tgB= – =— 0,2917;
AB 24
Hình 25
В
AC
7
cotga = cotge – AB = 24.- 3,4286. Cách 2. Theo bài 18, ta có : sin^2+cos^21, suy ra
cos?a=1-sin?a=14(E)- 525 – (235)
24
-~0,2917 ; 7 24
sina 7 24 Do đó cosx = = 0,96 ; tgz = == 25
cosa 25 25 cosa 24 7 24 cotga =
= ~3,4286, sina 25 25 7
hoặc tgocotgo =1, do đó cotgo #1: tga=1:
= 3,4286.
24
21. a) Dựng AABC vuông ở A, có AB=1, BC = 2.
Góc C chính là góc phải dựng (học sinh tự dựng hình và chứng minh).
b) Dựng AABC vuông ở B, có AB = 4, AC = 5. Góc B chính là góc phải dựng (học sinh tự dựng hình và chứng minh).
c) Dựng tam giác ABC vuông ở B có AB = 3, BC=1. Góc C chính là góc phải dựng (học sinh tự dựng hình và chứng minh).
d) Dựng tam giác MNP vuông ở M có MN =1, MP = 2. Góc P chính là góc phải dựng (học sinh tự dựng hình và chứng minh).