I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ

 • Với hai cung nhỏ trong một đường tròn hay trong hai đường tròn bằng nhau :
– Hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau.
– Hai dây bằng nhau căng hai cung bằng nhau.  • Với hai cung nhỏ trong một đường tròn hay trong hai đường tròn bằng nhau :
– Cung lớn hơn căng dây lớn hơn.
– Dây lớn hơn cũng cung lớn hơn.  • Nếu hai tam giác có hai cạnh tương ứng bằng nhau từng đối một nhưng các góc xen giữa không bằng nhau thì cạnh thứ ba cũng không bằng nhau và cạnh nào đối diện với góc lớn hơn là cạnh lớn hơn. • Nếu hai tam giác có hai cạnh tương ứng bằng nhau từng đôi một nhưng các cạnh thứ ba không bằng nhau thì góc xen giữa hai cạnh đó cũng không bằng nhau và góc nào đối diện với cạnh lớn hơn là góc lớn hơn.

  Nguồn website giaibai5s.com     

Ví dụ 2: Cho đường tròn (O) và dây cung AB không đi qua 0. Trên dây AB lấy ba điểm C, D, E sao cho AC =CD = DE = EB. Các tia OC, OD, OE cắt đường tròn lần lượt ở M, N, P. Chứng minh :
a) AM = PB và MN = NP ;
b) AM < MN.
Giải:
a) Tam giác AOB có OA = OB (bán kính đường tròn (O)) nên AAOB cân ở O, ta có OAB = OBA. ΔAOC va ΔBOE cό : C’DE OA = OB; OẠC=OBE (chứng minh trên); AC = BE (theo giả thiết). Do đó AOAC = AOBE (c-g-c), suy ra AOM = BOP. Vậy cung AM = PB Góc OCD là góc ngoài ở đỉnh C của tam giác OCA nên OCD = OAC + AOC. Tương tự AEB=EOB+OBE. Mà AOC = BOE, GẠC=OBE , do đó OCE =OEC. AOCD và AOED có : OC = OE (2 cạnh tương ứng của AAOC = ABOE ); OCD=OED (chứng minh trên); CD = DE (theo giá thiết). Do đó ACOD=AEOD (c.g.c), suy ra COD=EOD hay MON = NOP. Vậy cung MN = NP. Cũng có thể chứng minh cung MN = NP như sau : Vì AC = CD =DE = EB nên AC+CD=DE + EB hay AD = DB. Trong tam giác cân AOB, OD là đường trung tuyến nên là đường phân giác của góc AOD, do đó AOD=DOB mà AOC = EOB (chứng minh trên) nên COD=DOE hay MON = NOP. Vậy cung MN = NP. t} Trên tia CM lấy điểm M sao cho CQ=CO. Tứ giác AQDD là hình bình hành vì có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường, do đó QD = OA nhưng OA >OD nên QDxOD.

Do vậy trong tam giác QOD, ta có QOD >0QD mà OQD = AOQ (hai góc so le trong), vì thế AOM < MON. Vậy AM = MN.
II. BÀI TẬP
8. Cho tam giác MNP với các góc nhọn và MN < MP. Trên cạnh MP lấy điểm D sao cho MD = MN. Vẽ đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác NDP. a) So sánh các cung nhỏ PD, DN và PN ; b) Từ 0 kẻ OI, OH, OK lần lượt vuông góc với PN, PD, ND. So sánh các đoạn OI, OH, OK. 9. Cho hai đường tròn đồng tâm (0; R) và (0; r) với R >r. Từ một điểm P trên đường tròn (O; R), kẻ hai tia Ox, Oy không qua O, cắt hai đường tròn theo thứ tự ở A, B, E và C, D, F. Biết AB > CD.
a) Chứng minh PA = BE ;
b) So sánh các cung nhỏ PE, PF của đường tròn (O; R).
10. Chứng minh đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì đi qua trung điểm của dây cung ấy. Mệnh đề đảo có đúng không ? Hãy nếu điều kiện để mệnh đề đảo cũng đúng.
11. Cho đường tròn (O) đường kính AB. Qua trung điểm I của bán kính OB kẻ dây CD vuông góc với AB. Kẻ dây CE song song với AB. Chứng minh :
a) AE = BC = BD ;
b) E, 0, D thẳng hàng;
c) Tứ giác ADBE là hình chữ nhật.
III. HƯỚNG DẪN GIẢI – ĐÁP SỐ
8. a) Tam giác MNP, theo bất đẳng thức tam giác, ta có : NP > PM – MN
Nhưng MN = MD nên : NP > PM – MD hay NP > PD.
Theo định lí về mối liên hệ giữa dây và cung trong một đường tròn, từ NP > PD ta có NP > PD.
Vì điểm D thuộc cung PN mà PD+DN = PN, do đó PN > DN. b) Do DN < PN nên IO < OK ; PD < PN nên OI < OH. Do vậy: – Nếu PD = DN thì OH = OK >OI.
– Nếu PD< DN thì OH < OK DN thì OH=OK <0I. 9. a) Xét hai trường hợp: – Trường hợp Px, Py nằm về hai phía của đường kính kẻ qua P (trường hợp còn lại chứng minh tương tự). Xem hình 130. Kẻ OILPx , ta có : IP = IE và IA = IB Suy ra PI – AI = EI – BI hay PA = BE. b) Ké OK I Py Hình 130 Trong đường tròn (0 ; r), do AB > CD nên OI < OK, khi đó trong đường tròn (O; R), lại do OI< OK nên PE> PF. Theo định lí về mối quan hệ giữa dây và cung, trong đường tròn (O; R) ta lại có PE > PE.
M. 10. Giả sử đường kính đi qua điểm chính giữa M của A/ cung AB của đường tròn (O).
Xét hai trường hợp: { a) M là điểm chính giữa của cung nhỏ AB (h.131a).
Theo giả thiết cung nhỏ AM = cung nhỏ BM nên góc ở tâm AOM = góc ở tâm BOM, do đó OM là Hình 131 (t phân giác của góc AOB, vì thế trong tam giác cân AOB, đường phân giác Oi đồng thời là đường trung tuyển, do đó IA = IB.
b) M là điểm chính giữa của cung lớn AB (h.131b).
Tia MO cắt đường tròn (O) ở M. Khi đó
N MA+NA = MB + NB, nhung MA= MB nên Hình 1316 NA = NB, nghĩa là điểm N là điểm chính giữa của cung nho AB.
Theo trường hợp a), ta được IA = IB. Mệnh đề đảo : Đường kính đi qua trung điểm một dây cung thì chia đôi cung căng dây đó.
Mệnh đề này không đúng trong trường hợp tổng quát (h. 131c).
Với hình 131c, đường kính đi qua trung điểm của một dây cung nhưng không chia đôi cung căng dây đó. Vậy điều kiện để một mệnh để đảo đúng là dây cung không đi qua tâm đường tròn.
11. a) AB là đường trung trực của CD nên BC = BD. (1)
AOE =0EC (hai góc so le trong) BC = OCE (hai góc so le trong) AOCE cân ở O nên OEC = OCE.
Suy ra AOE = BỌC, do đó AE = BC, suy ra AE = BC. (2)
Từ (1) và (2), ta có : AE = BC = BD.
b) Tam giác COD cân ở O có OI là đường cao nên là phân giác của góc COD, do đó COB = BOD mà BỌC = AOE,
suy ra BOD = AOE. Do BOD+DOA = 180°,
nên D0A + AOE = 180°.
Vậy ba điểm E, 0, D thẳng hàng.
c) Tứ giác ADBE là hình bình hành vì có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường, lại có AB = ED nên tứ giác ADBE là hình chữ nhật.
Bài 2: Liên hệ giữa cung và dây
Đánh giá bài viết