$12. DẤU HIỆU CHIA HẾT CHO 3, CHO 9

A. TÓM TẮT KIẾN THỨC 1. Dấu hiệu chia hết cho 9

1. Các số có tổng các chữ số chia hết cho 9 thì chia hết cho 9. 2. Các số có tổng các chữ số không chia hết cho 9 thì không chia hết

cho 9. (Các số chia hết cho 9 thì tổng các chữ số chia hết cho 9). 2. Dấu hiệu chia hết cho 3

1. Các số có tổng các chữ số chia hết cho 3 thì chia hết cho 3. 2. Các số có tổng các chữ số không chia hết cho 3 thì không chia hết

cho 3. (Các số chia hết cho 3 thì tổng các chữ số chia hết cho 3).

? Trong các số sau, số nào chia hết cho 9 số nào không chia hết cho 9

621; 1205; 1327; 6354

Hướng dẫn Số 621 có tổng các chữ số 6 + 2 + 1 = 9 chia hết cho 9. Vậy 621 : 9 Tương tự, số 6354 :9 Số 1205 có tổng các chữ số 1 + 2 + 0 + 5 = 8 không chia hết cho 9 Vậy 1205 không chia hết cho 9

Tương tự, số 1327 cũng không chia hết cho 9 ? Điền chữ số vào dấu % để được số 157 * chia hết cho 3

Hướng dẫn Tổng các chữ số của 157 * là : 1 + 5 + 7 + + = 13 + : Để 13 + : chia hết cho 3 thì có thể thay ý bằng các chữ số 2, 5 hoặc 8

Ta được ba số : 1572 ; 1575 và 1578 B. BÀI TẬP toi Trong các số sau, số nào chia hết cho 3, số nào chia hết cho 9?

187; 1347; 2515; 6534; 93258

Hướng dẫn Xét : 1 + 8 + 7 = 16 vì 16 2 3 ; 16 2 9 nên số 187 không chia hết cho 3, cho 9. Tương tự, ta có : Số chia hết cho 3 : 1347; 6534; 93258.

Số chia hết cho 9 : 6534; 93258. 102 Cho các số : 3564; 6531; 6570; 1248.

a) Viết tập hợp A các số chia hết cho 3 trong các số trên b) Viết tập hợp B các số chia hết cho 9 trong các số trên c) Bằng ký hiệu c để thể hiện quan hệ giữa hai tập hợp A và B

| Hướng dẫn a) Áp dụng dấu hiệu chia hết cho 3, ta có : A = {3564 ; 6531 ; 6570 ; 1248} b) Áp dụng dấu hiệu chia hết cho 9, ta có : B = {3564 ; 6570) c) Rõ ràng, các phần tử thuộc tập hợp B đều thuộc tập hợp A (các số chia

hết cho 9 thì chia hết cho 3)

Vậy : B C A log Tổng (hiệu) sau có chia hết cho 3 không, có chia hết cho 9 không ? a) 1251 + 5316; b) 5436 – 1324; c) 1.2.3.4.5.6 + 27.

– Hướng dẫn a) Tổng 1251 + 5316 có tổng các chữ số : 1 + 2 + 5 + 1 + 5 + 3 + 1 + 6 = 24

chia hết cho 3 mà không chia hết cho 9. Vậy tổng trên chia hết cho 3 mà không chia hết cho 9.

b) Tương tự : hiệu 5436 – 1324 có (5436 : 3

→ 5436 – 1324 7 3 5436 1324 X 9. 13247 3 c) Tổng 1.2.3.4.5.6 + 27 có hai số hạng đều chia hết cho cả 3, cả 9 lên tông

trên chia hết cho cả 3, cả 9. 104 Điền chữ số vào dấu * để: a) 5 * 8 chia hết cho 3;

6 * 3 chia hết cho 9;

43 * chia hết cho cả 3 và 5; d) * 81 * chia hết cho cả 2, 3, 5, 9. (Trong một số có nhiều dấu , các dấu * không nhất thiết thay bởi các chữ số giống nhau).

15ướng dẫn a) Số 58 muốn chia hết cho 3 thì tổng các chữ số

5 + 4 + 8 = 13 + * phải chia hết cho 3. Vay có thể thay bằng 2; 5; 8 và được các số 528: 55: 588 b) Số 6 * 3 có tông các chữ số (6 + + 3 = 9 + . Vậy có thó chia hết cho 9

thì phải thay bằng 0 hoặc 3 và được các số 603; 693 c) Đệ 43 * chia hết cho 3 thì tố!1g 4 + 3 + 3 = 7 + ^ phai chia hết cho 3. kio

đó dấu * có thể được thay thế bằng các chữ số 2; 5; 8 (1). Để 43 * chia hết cho 5 thì k phải là 0 hoặc 5 (2) Từ (1) và (2) suy ra để 43 * chia hết cho 3 và 5 thì dấu * phải thay bằng

chữ số 5. Ta được số 435. d) Ta có : 81 * chia hết cho 2 thì tận cùng là 0, 2, 4, 6, 8

u ! 81 * chia hết cho 5 thì tận cùng là 0,5

(2) Vậy ta có số 810 Để *810 chia hết cho 9 thì tổng các chữ số 3 + 8 + 1 + 1 = + + 9 phai chia hết cho 3. Suy ra phai thay dầu • bằng số 9. Ta được số 9810. Vì một số chia hết cho 9 thì chia hết cho 3 nên số 9810 thỏa mãn yêu

cầu chia hết cho cả 2, 3, 5, 9. 105 Dùng ba trong bốn chữ số 4, 5, 3, 0 hãy ghép thành các số tự nhiên có

ba chữ số sao cho các số đó : a) Chia hết cho 9; b) Chia hết cho 3 mà không chia hết cho 9.

Hướng dẫn a) Vì số cần tìm phải chia hết cho 9 nên tổng các chữ số của nó phải chia

hết cho 9. Vậy ta chỉ sử dụng được ba chữ số 4; 5; 0 vì tổng 4 + 5 + 0 = 9 chia hết cho 9. “Ta có tất cả 4 số thỏa mãn yêu cầu đầu bài 450 ; 540 : 405 ; 504

b) Lý luận tương tự như trên, ta thấy chỉ có thể sử dụng ba chữ số 4, 5, 3 và tìm được các số :

453; 435; 345; 354; 543; 534. thỏa mãn điều kiện chia hết cho 3 nhà không chia hết cho 9.

LUYỆN TẬP loe Viết số tự nhiên nhỏ nhất có năm chữ số sao cho số đó : a) Chia hết cho 3;

b) Chia hết cho 9.

| lướng dẫn a) Số tự nhiên cần tìm có dạng abcde (a + ()) vì số tự nhiên cần tìm là nhỏ nhất nên ta có a = 1, b = 0, c = 0, d = 0 và vì nó cần chia hết cho 3 nên :

1 + 0 + 0 + 0 + e = 1 + e phải chia hết cho 3 tức là 1 + 2 = 3 + 2 = 2

Vậy ta được số 10002. b) Lý luận tương tự, ta được số 10008. 107 Điền dấu “x” vào ô thích hợp trong các câu sau :

Dung | Sai a) | Một số chia hết cho 9 thì số đó chia hết cho 3. b) Một số chia hết cho 3 thì số đó chia hết cho 9. c) Một số chia hết cho 15 thì số đó chia hết cho 3.

d) Một số chia hết cho 45 thì số đó chia hết cho 9,

Lướng dẫn a) Hàng 1: Một số chia hết cho 9 thì tổng các chữ số của nó phải chia hết

cho 9 và do đó cũng chia hết cho 3. Vậy số đó cũng chia hết cho 3.

Ta có kết luận đúng. b) Hàng 2 : Một số chia hết cho 3 thì tổng các chữ số của nó chia hết cho 3,

không chắc chia hết cho 9. Ví dụ số 123 có tổng các chữ số 1 + 2 + 3 = 6 chia hết cho 3 mà không chia hết cho 9. Vậy số đó không chắc chia hết cho 9.

Ta có kết luận sai. c) Hàng 3 : Vì 15 chia hết cho 3 nên rõ ràng một số chia hết cho 15 thì

chia hết cho 3.

Ta có kết luận đúng. d) Flàng 4 : Kết luận đúng.

Đúng | Sai

lo8 Một số có tổng các chữ số chia cho 9 (cho 3) dư m thì số đó chia cho 9

(cho 3) cũng dư m.. Ví dụ : Số 1543 có tổng các chữ số bằng:1 + 5 + 4 + 3 = 13. Số 13 chia cho 9 dư 4, chia cho 3 dư 1. Do đó số 1543 chia cho 9 dư 4, chia cho 3 dư 1. Tìm số dư khi chia mỗi số sau cho 9, cho 3: 1546; 1527; 2468; 10′.

Hướng dẫn

1546 1527 2468 1011 số dư khi chia cho 9 | 7 | 6 | 2

Số dư khi chia cho 3 1 1 1 0 2 1 109 Gọi m là số dư của a khi chia cho 9. Điền vào các ô trống :

a 162 13 827 | 468

m

… | … Hướng dẫn

16 | 213 827 468

m7 68 0 lic Trong phép nhân a,b = c, gọi : m là số dư của a khi chia cho 9, n là số

dư của b khi chia cho 9, r là số dư của m.n khi chia cho 9, d là số dư của c khi chia cho 9. Điền vào các ô trống rồi so sánh r và d trong môi trường hợp

78 64 72

47

59

21

3666

3776

1512

2

Hướng dẫn

m

3

coco

banys

orotor

d

Ta thấy d = r.

BÀI TẬP TỰ LUYỆN a) Chứng minh rằng một số chia hết cho 9 thì chia hết cho 3. Điều 1 gược lại có đúng không ? Cho ví dụ minh họa. b) Cho các số 41 * , 510 *, 111.111.11* • Thay lâu ở bằng một chữ số để được một số chia hết cho 3. • Trong các sổ tìm được, có số nào chia hết cho 9 không ? a) Viết hai số có năm chữ số chia hết cho 5 và cho 9. b) Viết tất cả các chữ số có ba chữ số giống nhau mà chia hết cho 9.