I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
| • Tập hợp các điểm cách điểm O cố định một khoảng bằng R không đổi (R > 0) là đường tròn tâm O bán kính R. • Đường kính là dây lớn nhất của đường tròn. • Qua ba điểm không thẳng hàng, bao giờ cũng vẽ được một đường tròn và chỉ một mà thôi. – Một điểm O cho trước và một số thực dương R cho trước xác định một đường tròn tâm O bán kính R. – Ba điểm không thẳng hàng xác định một đường tròn đi qua ba điểm đó. |
Nguồn website giaibai5s.com
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC cân ở A, hai đường cao BD và CE.
a) Chứng minh bốn điểm B, C, D, E cùng thuộc một đường tròn ;
b) Tính bán kính của đường tròn trên, biết BD = 6cm, CD = 4cm;
c) Chứng minh DE < BC.
Giải:
a) Gọi O là trung điểm của cạnh BC thì OB=OC = ½ BC (1)
OD, OE theo thứ tự là đường trung tuyến thuộc cạnh huyền BC của tam giác vuông BDC và BEC nên OD= BC và OE = BC (2)
Từ (1) và (2) suy ra OB = OC = OD = 0E =-BC.
Vậy, theo định nghĩa đường tròn, bốn điểm B, C, D, E cùng thuộc một đường tròn tâm O, bán kính bằng P (1.53).
b) Tam giác BDC vuông ở D, theo định lí Py-ta-go, ta có : BC = BD^ + DC =6o44 = 36+16 =52, suy ra BC = 452 cm. Vậy bán kính của đường tròn (O) là 22 23 = 13 (cm).
c) Trong đường tròn (O), BC là đường kính, ED là dây cung. Do đó ED < BC.
Ví dụ 2: Cho góc xOy =120° và điểm A trên Ox, điểm B trên Oy sao cho OA = OB = 4cm. Hãy dựng đường tròn ngoại tiếp AAOB, tính bán kính của đường tròn đó.
Giải:
• Dựng đường tròn ngoại tiếp AAOB. y .
Cách dựng :
– Dựng đường trung trực của các cạnh OA, OB chúng cắt nhau tại I.
– Dựng đường tròn tâm O bán kính IO. Đường tròn này chính là đường OLA tròn phải dựng.
Chứng minh :
Điểm I nằm trên đường trung trực của đoạn OA nên IA = IO. Điểm I lại nằm trên đường trung trực của đoạn OB nên IB= IO. Suy ra IA = IB=IO. Vậy ba điểm A, C, B cùng thuộc đường tròn tâm I bán kính IO, hay đường tròn tâm I bán kính IO là đường tròn ngoại tiếp AAOB.
Biện luận : Bài toán luôn luôn giải được và chỉ có một nghiệm hình.
• Tính bán kính đường tròn (I). H và K theo thứ tự là trung điểm của OA và OB nên OH = -AB= 2(cm), OK = LOB=2 (cm).
2 AIOH= AIOK (cạnh huyền – góc nhọn) nên
IOH = IOK == AOB = 60°.
2
AIOA cân tại A lại có IOA = 60° nên là tam giác đều, do đó IO=OA = 4cm. Vậy bán kính của đường tròn (I) bằng 4cm.
II. BÀI TẬP
1. Cho hình thang cân ABCD (AD // BC).
Biết AB=12cm, AC = 16cm và BC = 20cm. Chứng minh bốn điểm A, B, C, D thuộc một đường tròn, tính bán kính của đường tròn đó.
2. Cho đường tròn tâm O bán kính 3cm có tâm ở gốc toạ độ. Hãy xác định vị trí của mỗi điểm A, B, C đối với đường tròn, biết toạ độ của các điểm : A(1;-2); B(-22 ;1) và C(1 ; 3).
3. Tam giác ABC vuông ở A có AB = 5cm, AC = 12cm. Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác đó bằng :
a) 13cm b) 6,5cm c) 10cm d) 6cm.
Hãy chọn câu trả lời đúng.
4. Cho góc xOy = 30°, hai điểm A và B trên Ox sao cho OA = 2cm,
OB = 4cm.
a) Hãy dựng đường tròn tâm 1 địa qua A và B sao cho I thuộc OI;
b) Tính bán kính của đường tròn (I).
5. Hãy nối mỗi ý :(1), (2), (3) với một trong các ý (4), (5), (6) để được
câu đúng: (1) Đường tròn tâm O bán kính (4) là đường tròn tâm O bán kính 4cm gồm toàn thể những điểm 4cm. (2) Tập hợp những điểm có 4 (5) cách điểm 0 một khoảng khoảng cách đến điểm O nhỏ hơn bằng 4cm. hoặc bằng 4cm (3) Tập hợp các điểm có khoảng 1 (6) là hình tròn tâm O bán kính cách đến điểm 0 cố định bằng 4cm. 4cm
6. Tam giác đều ABC cạnh 4cm. Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là một trong các giá trị sau : a) 273 cm ; b) cm;
d) v3 cm. c) 41
7. Hãy chọn câu trả lời đúng. Cho đường tròn tâm O bán kính R, dây cung AB = R. Trên tia đối của tia BA lấy điểm C sao cho BC = BA. Tia CO cắt đường tròn (O) ở D. Biết R = 3cm.
a) Tính góc ACD;
b) Tính CD.
III. HƯỚNG DẪN GIẢI – ĐÁP SỐ
1.
Tam giác ABC có : AB? + AC2 = 122 +162 = 144 + 256
= 400 = 202 = BC?. Do đó AABC vuông ở A. Chứng minh tương tự ABCD vuông ở D.
Gọi O là trung điểm của BC, theo tính chất 9
Hình 55 đường trung tuyến của tam giác vuông, ta có OA = OB = OC = OD = BC. Vậy bốn điểm A, B, C, D thuộc đường tròn tâm O, bán kính của đường tròn bằng 10cm. Gọi R là bán kính của đường tròn, ta có :
OA^ = 1+2 =5, suy ra
OA = V5 <3=R. Vậy điểm A nằm trong đường tròn (O). B OB? =(-272)2 +1? = 8+1=9, suy ra OB = 3 = R. Vậy điểm B nằm trên đường tròn (O). OC =13′ =10, suy ra OC = V10 >3=R.
Hình 56 Vậy điểm C nằm bên ngoài đường tròn (O). Tam giác ABC vuông ở A: BC2 = AB? + AC= 5+122
= 25+144 =169, suy ra BC = 13 (cm). Gọi 0 là trung điểm của BC thì OA = OB=OC
Hình 57 ==BC =-.13=6,5 (cm). Vậy ba điểm A, B, C thuộc đường tròn tâm O bán kính 6,5cm. Chọn b) 6,5cm. a) Cách dựng:
– Dựng đường trung trực của đoạn AB cắt Oy ở I.
– Dựng đường tròn tâm O, bán kính IA. Các phần còn lại học sinh tự làm.
b) Do OA = 2cm, OB = 4cm nên AB=2cm.
a) Chứng minh bốn điểm B, C, D, E cùng thuộc một đường tròn ;
b) Tính bán kính của đường tròn trên, biết BD = 6cm, CD = 4cm;
c) Chứng minh DE < BC.
Giải:
a) Gọi O là trung điểm của cạnh BC thì OB=OC = ½ BC (1)
OD, OE theo thứ tự là đường trung tuyến thuộc cạnh huyền BC của tam giác vuông BDC và BEC nên OD= BC và OE = BC (2)
Từ (1) và (2) suy ra OB = OC = OD = 0E =-BC.
Vậy, theo định nghĩa đường tròn, bốn điểm B, C, D, E cùng thuộc một đường tròn tâm O, bán kính bằng P (1.53).
b) Tam giác BDC vuông ở D, theo định lí Py-ta-go, ta có : BC = BD^ + DC =6o44 = 36+16 =52, suy ra BC = 452 cm. Vậy bán kính của đường tròn (O) là 22 23 = 13 (cm).
c) Trong đường tròn (O), BC là đường kính, ED là dây cung. Do đó ED < BC.
Ví dụ 2: Cho góc xOy =120° và điểm A trên Ox, điểm B trên Oy sao cho OA = OB = 4cm. Hãy dựng đường tròn ngoại tiếp AAOB, tính bán kính của đường tròn đó.
Giải:
• Dựng đường tròn ngoại tiếp AAOB. y .
Cách dựng :
– Dựng đường trung trực của các cạnh OA, OB chúng cắt nhau tại I.
– Dựng đường tròn tâm O bán kính IO. Đường tròn này chính là đường OLA tròn phải dựng.
Chứng minh :
Điểm I nằm trên đường trung trực của đoạn OA nên IA = IO. Điểm I lại nằm trên đường trung trực của đoạn OB nên IB= IO. Suy ra IA = IB=IO. Vậy ba điểm A, C, B cùng thuộc đường tròn tâm I bán kính IO, hay đường tròn tâm I bán kính IO là đường tròn ngoại tiếp AAOB.
Biện luận : Bài toán luôn luôn giải được và chỉ có một nghiệm hình.
• Tính bán kính đường tròn (I). H và K theo thứ tự là trung điểm của OA và OB nên OH = -AB= 2(cm), OK = LOB=2 (cm).
2 AIOH= AIOK (cạnh huyền – góc nhọn) nên
IOH = IOK == AOB = 60°.
2
AIOA cân tại A lại có IOA = 60° nên là tam giác đều, do đó IO=OA = 4cm. Vậy bán kính của đường tròn (I) bằng 4cm.
II. BÀI TẬP
1. Cho hình thang cân ABCD (AD // BC).
Biết AB=12cm, AC = 16cm và BC = 20cm. Chứng minh bốn điểm A, B, C, D thuộc một đường tròn, tính bán kính của đường tròn đó.
2. Cho đường tròn tâm O bán kính 3cm có tâm ở gốc toạ độ. Hãy xác định vị trí của mỗi điểm A, B, C đối với đường tròn, biết toạ độ của các điểm : A(1;-2); B(-22 ;1) và C(1 ; 3).
3. Tam giác ABC vuông ở A có AB = 5cm, AC = 12cm. Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác đó bằng :
a) 13cm b) 6,5cm c) 10cm d) 6cm.
Hãy chọn câu trả lời đúng.
4. Cho góc xOy = 30°, hai điểm A và B trên Ox sao cho OA = 2cm,
OB = 4cm.
a) Hãy dựng đường tròn tâm 1 địa qua A và B sao cho I thuộc OI;
b) Tính bán kính của đường tròn (I).
5. Hãy nối mỗi ý :(1), (2), (3) với một trong các ý (4), (5), (6) để được
câu đúng: (1) Đường tròn tâm O bán kính (4) là đường tròn tâm O bán kính 4cm gồm toàn thể những điểm 4cm. (2) Tập hợp những điểm có 4 (5) cách điểm 0 một khoảng khoảng cách đến điểm O nhỏ hơn bằng 4cm. hoặc bằng 4cm (3) Tập hợp các điểm có khoảng 1 (6) là hình tròn tâm O bán kính cách đến điểm 0 cố định bằng 4cm. 4cm
6. Tam giác đều ABC cạnh 4cm. Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là một trong các giá trị sau : a) 273 cm ; b) cm;
d) v3 cm. c) 41
7. Hãy chọn câu trả lời đúng. Cho đường tròn tâm O bán kính R, dây cung AB = R. Trên tia đối của tia BA lấy điểm C sao cho BC = BA. Tia CO cắt đường tròn (O) ở D. Biết R = 3cm.
a) Tính góc ACD;
b) Tính CD.
III. HƯỚNG DẪN GIẢI – ĐÁP SỐ
1.
Tam giác ABC có : AB? + AC2 = 122 +162 = 144 + 256
= 400 = 202 = BC?. Do đó AABC vuông ở A. Chứng minh tương tự ABCD vuông ở D.
Gọi O là trung điểm của BC, theo tính chất 9
Hình 55 đường trung tuyến của tam giác vuông, ta có OA = OB = OC = OD = BC. Vậy bốn điểm A, B, C, D thuộc đường tròn tâm O, bán kính của đường tròn bằng 10cm. Gọi R là bán kính của đường tròn, ta có :
OA^ = 1+2 =5, suy ra
OA = V5 <3=R. Vậy điểm A nằm trong đường tròn (O). B OB? =(-272)2 +1? = 8+1=9, suy ra OB = 3 = R. Vậy điểm B nằm trên đường tròn (O). OC =13′ =10, suy ra OC = V10 >3=R.
Hình 56 Vậy điểm C nằm bên ngoài đường tròn (O). Tam giác ABC vuông ở A: BC2 = AB? + AC= 5+122
= 25+144 =169, suy ra BC = 13 (cm). Gọi 0 là trung điểm của BC thì OA = OB=OC
Hình 57 ==BC =-.13=6,5 (cm). Vậy ba điểm A, B, C thuộc đường tròn tâm O bán kính 6,5cm. Chọn b) 6,5cm. a) Cách dựng:
– Dựng đường trung trực của đoạn AB cắt Oy ở I.
– Dựng đường tròn tâm O, bán kính IA. Các phần còn lại học sinh tự làm.
b) Do OA = 2cm, OB = 4cm nên AB=2cm.